Giải tích Ví dụ

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Sau đó $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ , nên $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Bước 2.3.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ là $f' (g (θ)) g' (θ)$ trong đó $f (θ) = \csc (θ)$ và $g (θ) = 7 θ$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Bước 2.3.1.1.2.2

Đạo hàm của $\csc (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Bước 2.3.1.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Vì $7$ không đổi đối với $θ$ , nên đạo hàm của $7 θ$ đối với $θ$ là $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Bước 2.3.1.1.3.2

Nhân $7$ với $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Bước 2.3.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ là $n θ^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.4.1

Nhân $- 7$ với $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Bước 2.3.1.1.3.4.2

Sắp xếp lại các thừa số của $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Bước 2.3.2.2

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{7}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{7}$ ra khỏi tích phân.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Viết lại $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.6.2.2

Nhân $2$ với $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $\frac{π}{4}$ cho $θ$ và $3$ cho $r$ trong $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Bước 4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Kết hợp $7$ và $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Bước 4.2.1.2

Áp dụng góc quy chiếu bằng cách tìm góc có giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosecant âm trong góc phần tư thứ tư.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.3

Giá trị chính xác của $\csc (\frac{π}{4})$ là $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Bước 4.2.1.5

Nhân $- 1$ với ${(- 1)}^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.1

Di chuyển ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.5.2

Nhân ${(- 1)}^{2}$ với $- 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.5.2.1

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.6

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.7

Viết lại ${\sqrt{2}}^{2}$ ở dạng $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.7.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{2}$ ở dạng $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Bước 4.2.1.7.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Bước 4.2.1.7.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Bước 4.2.1.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Bước 4.2.1.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Bước 4.2.1.7.5

Tính số mũ.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Bước 4.2.1.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.8.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{14}$ vào tử số.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Bước 4.2.1.8.2

Đưa $2$ ra ngoài $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Bước 4.2.1.8.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Bước 4.2.1.8.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Bước 4.2.1.9

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Cộng $\frac{1}{7}$ cho cả hai vế của phương trình.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Bước 4.3.2

Để viết $3$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Bước 4.3.3

Kết hợp $3$ và $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Bước 4.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Bước 4.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Nhân $3$ với $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Bước 4.3.5.2

Cộng $21$ và $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Bước 5

Thay $\frac{22}{7}$ cho $K$ trong $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $\frac{22}{7}$ bằng $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Bước 5.2

Kết hợp $\csc^{2} (7 θ)$ và $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$