Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1}) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) + \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int 5^{x} \ln (5) d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.2

Vì $\ln (5)$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\ln (5)$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \ln (5) \int 5^{x} d x + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.3

Tích phân của $5^{x}$ đối với $x$ là $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.4.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.5

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{3}$ .

$y + C_{1} = \ln (5) (\frac{5^{x}}{\ln (5)} + C_{2}) + \arctan (x) + C_{3}$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

$y + C_{1} = 5^{x} + \arctan (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 5^{x} + \arctan (x) + K$