Giải tích Ví dụ

$(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x^{3} y + 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y + 8 y]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} y + 8 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{3} y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x^{3} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x^{3}$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x^{3} y$ đối với $y$ là $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8 y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [8 y]$

Bước 1.3.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + \frac{d}{d y} [8 y]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $8$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $8 y$ đối với $y$ là $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8 \cdot 1$

Bước 1.4.3

Nhân $8$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{3} + 8$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 1]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.3

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x^{3} + 8$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x^{3} + 8 = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $x^{3} + 8$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{M}$

Bước 4.3

Thay $x^{3} y + 8 y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x^{3} y + 8 y$ bằng $M$ .

$\frac{0 - (x^{3} + 8)}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{0 - x^{3} - 1 \cdot 8}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{0 - x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $- (- x^{3} - 8)$ khỏi $0$ .

$\frac{- x^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4

Viết lại $- x^{3} - 8$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.1

Viết lại $- x^{3}$ ở dạng ${(- x)}^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 8}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{{(- x)}^{3} - 2^{3}}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = - x$ và $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- x)}^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.4.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- x$ .

$\frac{(- x - 2) ({(- 1)}^{2} x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4.4.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(- x - 2) (1 x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4.4.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4.4.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.2.4.4.5

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{x^{3} y + 8 y}$

Bước 4.3.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{3} y + 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{3} y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + 8 y}$

Bước 4.3.3.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $8 y$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y x^{3} + y \cdot 8}$

Bước 4.3.3.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 8)}$

Bước 4.3.3.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x^{3} + 2^{3})}$

Bước 4.3.3.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức tổng các lập phương, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ với $a = x$ và $b = 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}$

Bước 4.3.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}$

Bước 4.3.3.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}$

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} - 2 x + 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(- x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- x - 2}{y (x + 2)}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- x - 2$ và $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) - 2}{y (x + 2)}$

Bước 4.3.5.2

Viết lại $- 2$ ở dạng $- 1 (2)$ .

$\frac{- (x) - 1 (2)}{y (x + 2)}$

Bước 4.3.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2)}{y (x + 2)}$

Bước 4.3.5.4

Viết lại $- (x + 2)$ ở dạng $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Bước 4.3.5.5

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (x + 2)}{y (x + 2)}$

Bước 4.3.5.6

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{y}$

Bước 4.3.6

Thay $x^{3} y + 8 y$ bằng $M$ .

$- \frac{1}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x^{3} y + 8 y) d x + (y + 1) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x^{3} y + 8 y$ với $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} y + 8 y) \frac{1}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $x^{3} y + 8 y$ với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x^{3} y + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{3} y + 8 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{3} y$ .

$\frac{y x^{3} + 8 y}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.3.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $8 y$ .

$\frac{y x^{3} + y \cdot 8}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.3.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y x^{3} + y \cdot 8$ .

$\frac{y (x^{3} + 8)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.3.2

Viết lại $8$ ở dạng $2^{3}$ .

$\frac{y (x^{3} + 2^{3})}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.3.3

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.4.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.3.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{y ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}{y} d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.4.2

Chia $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ cho $1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.5

Khai triển $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ bằng cách nhân mỗi số hạng trong biểu thức thứ nhất với mỗi số hạng trong biểu thức thứ hai.

$(x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(x^{1} x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(x^{1 + 2} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.1.2

Cộng $1$ và $2$ .

$(x^{3} + x (- 2 x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(x^{3} - 2 x \cdot x + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.3

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.3.1

Di chuyển $x$ .

$(x^{3} - 2 (x \cdot x) + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.3.2

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + x \cdot 4 + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.4

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $x$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.5

Nhân $- 2$ với $2$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 4) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.6.6

Nhân $2$ với $4$ .

$(x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.7

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Cộng $- 2 x^{2}$ và $2 x^{2}$ .

$(x^{3} + 4 x + 0 - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.7.2

Cộng $x^{3} + 4 x$ và $0$ .

$(x^{3} + 4 x - 4 x + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.7.3

Trừ $4 x$ khỏi $4 x$ .

$(x^{3} + 0 + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.7.4

Cộng $x^{3}$ và $0$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) d y = 0$

Bước 6.8

Nhân $y + 1$ với $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + (y + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Bước 6.9

Nhân $y + 1$ với $\frac{1}{y}$ .

$(x^{3} + 8) d x + \frac{y + 1}{y} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 8 d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = x^{3} + 8$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x^{3} d x + \int 8 d x$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + \int 8 d x$

Bước 8.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + C + 8 x + C$

Bước 8.4

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y + 1}{y}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Bước 11.3

Vì $\frac{1}{4} x^{4}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{4}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [8 x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Bước 11.4

Vì $8 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $8 x$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y + 1}{y}$

Bước 11.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Bước 11.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Bước 11.6.2

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\frac{y + 1}{y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \frac{y + 1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y + 1}{y} d y$

Bước 12.3

Chia phân số thành nhiều phân số.

$g (y) = \int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y$

Bước 12.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Bước 12.5

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y$

Bước 12.5.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = \int d y + \int \frac{1}{y} d y$

Bước 12.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = y + C + \int \frac{1}{y} d y$

Bước 12.7

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$g (y) = y + C + \ln (| y |) + C$

Bước 12.8

Rút gọn.

$g (y) = y + \ln (| y |) + C$

Bước 13

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{4} x^{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$

Bước 14

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{4} + 8 x + y + \ln (| y |) + C$