Giải tích Ví dụ

$y e^{y} d y = - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = y$ và $d v = e^{y}$ .

$y e^{y} - \int e^{y} d y = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $e^{y}$ đối với $y$ là $e^{y}$ .

$y e^{y} - (e^{y} + C_{1}) = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.3

Rút gọn.

$y e^{y} - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 2.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = \int - \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Bước 3.2

Chia $x^{2} + 1$ cho $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

Bước 3.2.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

Bước 3.2.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Bước 3.2.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Bước 3.2.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$

Bước 3.2.6

Đưa số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Bước 3.2.7

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - \int x + \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\int x d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x)$

Bước 3.5

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3})$

Bước 3.6.2

Rút gọn.

$e^{y} y - e^{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C_{4}$

Bước 4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$e^{y} y - e^{y} = - (\frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |)) + C$