Giải tích Ví dụ

$d x + e^{4 x} d y = 0$

Bước 1

Trừ $d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$e^{4 x} d y = - d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{4 x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{4 x}} e^{4 x} d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 d y = \frac{1}{e^{4 x}} \cdot - 1 d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{e^{4 x}}$ và $- 1$ .

$1 d y = \frac{- 1}{e^{4 x}} d x$

Bước 3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$1 d y = - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Bước 4.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{e^{4 x}} d x$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{4 x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$y + C_{1} = - \int 1 {(e^{4 x})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{4 x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{4 x \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.2.2.1.2

Nhân $- 1$ với $4$ .

$y + C_{1} = - \int 1 e^{- 4 x} d x$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $e^{- 4 x}$ với $1$ .

$y + C_{1} = - \int e^{- 4 x} d x$

Bước 4.3.3

Giả sử $u = - 4 x$ . Sau đó $d u = - 4 d x$ , nên $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Hãy đặt $u = - 4 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Tính đạo hàm $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Bước 4.3.3.1.2

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 4.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Bước 4.3.3.1.4

Nhân $- 4$ với $1$ .

$- 4$

Bước 4.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = - \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Bước 4.3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Bước 4.3.4.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 4.3.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - - \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 4.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.6.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 4.3.6.2

Nhân $\int \frac{e^{u}}{4} d u$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Bước 4.3.7

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Bước 4.3.8

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Bước 4.3.9

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Bước 4.3.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- 4 x$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{4} e^{- 4 x} + K$