Giải tích Ví dụ

$y \ln (x) - x \frac{d y}{d x} = 0$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Giải tìm $\frac{d y}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Trừ $y \ln (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$

Bước 1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ cho $- x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ cho $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Bước 1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Bước 1.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Bước 1.1.2.2.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Bước 1.1.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.3.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (x)}{x}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = \ln (x)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{x} d x$ , nên $x d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = \ln (x)$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Bước 2.3.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int u d u$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$

Bước 3.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Bước 3.3

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C} = | y |$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Bước 3.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ ở dạng $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$