Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

Bước 1.2

Sắp xếp lại $y$ và $2 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = 2 \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

Bước 2.2

Lấy tích phân $2 \tan (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\tan (x)$ đối với $x$ là $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

Bước 2.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

Bước 2.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$\sec^{2} (x)$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.4

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.6

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.7

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.9

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.10

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.11

Kết hợp.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.12

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.12.1

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.12.1.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.12.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.12.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.2.13

Kết hợp $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Bước 3.3

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Bước 3.4

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Bước 3.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ và $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân với $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.2

Tách các phân số.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ sang $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.4

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.5

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.6

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.8

Kết hợp $\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ và $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.9

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.10

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.11

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.12

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.13.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.13.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.14

Nhân $\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.14.1

Kết hợp $\tan (x)$ và $\frac{2 y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.14.2

Kết hợp $\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ và $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.15

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.16

Viết lại $\tan (x)$ theo sin và cosin.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.17

Viết lại $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ ở dạng một tích.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.18

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.18.1

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.18.2

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.19

Chia $(2 y) \sec (x)$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.20

Nhân $2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.20.1

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.20.2

Nâng $\sec (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.20.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.7.20.4

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.8

Đưa $\cos (x)$ ra ngoài $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Bước 3.9

Tách các phân số.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Bước 3.10

Quy đổi từ $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ sang $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Bước 3.11

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Bước 3.12

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Bước 7

Vì đạo hàm của $\sec (x)$ là $\sec (x) \tan (x)$ , tích phân của $\sec (x) \tan (x)$ là $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ cho $\sec^{2} (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ cho $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $\sec (x)$ và $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.3.1.2

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.3.1.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Bước 8.3.1.4

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$