Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{2 x} \cos^{2} (y)$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (e^{2 x} \cos^{2} (y))$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $\cos^{2} (y)$ ra ngoài $e^{2 x} \cos^{2} (y)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\cos^{2} (y)} (\cos^{2} (y) e^{2 x})$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} \frac{d y}{d x} = e^{2 x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = e^{2 x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\cos^{2} (y)} d y = \int e^{2 x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos^{2} (y)}$ sang $\sec^{2} (y)$ .

$\int \sec^{2} (y) d y = \int e^{2 x} d x$

Bước 2.2.2

Vì đạo hàm của $\tan (y)$ là $\sec^{2} (y)$ , tích phân của $\sec^{2} (y)$ là $\tan (y)$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{2 x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 2.3.1.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 2.3.1.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.2

Kết hợp $e^{u}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$\tan (y) + C_{1} = \frac{1}{2} e^{2 x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\tan (y) = \frac{1}{2} e^{2 x} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Rút gọn $\frac{1}{2} \cdot e^{2 x} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{2 x}$ .

$\tan (y) = \frac{e^{2 x}}{2} + K$

Bước 3.1.2

Sắp xếp lại $\frac{e^{2 x}}{2}$ và $K$ .

$\tan (y) = K + \frac{e^{2 x}}{2}$

Bước 3.2

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $y$ từ trong hàm tang.

$y = \arctan (K + \frac{e^{2 x}}{2})$