Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{e^{x}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{e^{x}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Kết hợp.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Bước 1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{e^{x}}$

Bước 1.2.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{x}}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{e^{x}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Bước 2.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1

Nhân các số mũ trong ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.2.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.2.2.1.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Bước 2.3.2.2.1.3

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- x} d x$

Bước 2.3.2.2.2

Nhân $e^{- x}$ với $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int e^{- x} d x$

Bước 2.3.3

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 2.3.3.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 2.3.3.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 2.3.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int - e^{u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (- \int e^{u} d u)$

Bước 2.3.5

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Bước 2.3.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{- x} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 e^{- x} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- 4 e^{- x} + C}$ ở dạng $e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- 4 e^{- x}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 e^{- x}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- 4 e^{- x}}$