Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d t} + t y = y$ , $y (1) = 3$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Trừ $t y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d y}{d t} = y - t y$

Bước 1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y - t y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d t} = y^{1} - t y$

Bước 1.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 - t y$

Bước 1.2.3

Đưa $y$ ra ngoài $- t y$ .

$\frac{d y}{d t} = y \cdot 1 + y (- t)$

Bước 1.2.4

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot 1 + y (- t)$ .

$\frac{d y}{d t} = y (1 - t)$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (1 - t))$

Bước 1.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = 1 - t$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = (1 - t) d t$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 1 - t d t$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - t d t$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d t + \int - t d t$

Bước 2.3.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} + \int - t d t$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - \int t d t$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $t$ đối với $t$ là $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = t + C_{2} - (\frac{1}{2} t^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\ln (| y |) + C_{1} = t - \frac{1}{2} t^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = - \frac{1}{2} t^{2} + t + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$ .

$| y | = e^{- \frac{1}{2} t^{2} + t + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $t^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$| y | = e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t + C}$ ở dạng $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- \frac{t^{2}}{2} + t} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Bước 5

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $1$ cho $t$ và $3$ cho $y$ trong $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$3 = C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1}$

Bước 6

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$ .

$C e^{- \frac{1^{2}}{2} + 1} = 3$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$C e^{- \frac{1}{2} + 1} = 3$

Bước 6.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$C e^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} = 3$

Bước 6.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$C e^{\frac{- 1 + 2}{2}} = 3$

Bước 6.2.4

Cộng $- 1$ và $2$ .

$C e^{\frac{1}{2}} = 3$

Bước 6.3

Chia mỗi số hạng trong $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ cho $e^{\frac{1}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia mỗi số hạng trong $C e^{\frac{1}{2}} = 3$ cho $e^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C e^{\frac{1}{2}}}{e^{\frac{1}{2}}} = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Bước 6.3.2.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7

Thay $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ cho $C$ trong $y = C e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ bằng $C$ .

$y = \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$

Bước 7.2

Kết hợp $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ và $e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.3

Đưa $e^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t}$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}}}$

Bước 7.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Bước 7.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{\frac{1}{2}} (3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}})}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Bước 7.4.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}}{1}$

Bước 7.4.4

Chia $3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$y = 3 e^{- \frac{t^{2}}{2} + t - \frac{1}{2}}$