Giải tích Ví dụ

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Bước 1

Kiểm tra xem vế trái của phương trình có phải là kết quả của đạo hàm của số hạng $x^{2} y$ không.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Bước 1.4

Thay $\frac{d y}{d x}$ bằng $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Bước 1.5

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Bước 1.6

Di chuyển $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Bước 2

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Bước 3

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân vế trái.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng công thức góc chia đôi để viết lại $\cos^{2} (x)$ ở dạng $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Bước 5.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Bước 5.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 5.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Bước 5.5

Giả sử $u = 2 x$ . Sau đó $d u = 2 d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Hãy đặt $u = 2 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Tính đạo hàm $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Bước 5.5.1.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 5.5.1.4

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 5.5.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Bước 5.6

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Bước 5.7

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Bước 5.8

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Bước 5.9

Rút gọn.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Bước 5.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Bước 5.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Bước 5.11.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 5.11.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Bước 5.11.4

Nhân $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.4.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Bước 5.11.4.2

Nhân $2$ với $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Bước 5.12

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ cho $x^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ cho $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.4

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.5

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.6

Kết hợp.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Bước 6.3.1.7

Nhân $\sin (2 x)$ với $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$