Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = e^{x} \sin (x) + x \cos (x)$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = (e^{x} \sin (x) + x \cos (x)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) + x \cos (x) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \int e^{x} \sin (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \int \sin (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \sin (x)$ và $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.4

Sắp xếp lại $e^{x}$ và $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \cos (x)$ và $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.7

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.7.2

Nhân $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ với $1$ .

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x) + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.8

Khi giải tìm $\int e^{x} \sin (x) d x$ , chúng ta thấy rằng $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C_{2} + \int x \cos (x) d x$

Bước 2.3.9

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - \int \sin (x) d x$

Bước 2.3.10

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C_{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1.1

Cộng $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2}$ và $x \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1.1.1

Di chuyển $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{3})$

Bước 2.3.11.1.1.2

Để viết $x \sin (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + x \sin (x) \cdot \frac{2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Bước 2.3.11.1.1.3

Kết hợp $x \sin (x)$ và $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x)}{2} + \frac{x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Bước 2.3.11.1.1.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + x \sin (x) \cdot 2}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Bước 2.3.11.1.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x \sin (x)$ .

$y + C_{1} = C_{2} + \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} - (- \cos (x) + C_{3})$

Bước 2.3.11.2

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) + C_{4}$

Bước 2.3.11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.3.1

Để viết $\cos (x)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \cos (x) \cdot \frac{2}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.11.3.2

Kết hợp $\cos (x)$ và $\frac{2}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.11.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + \cos (x) \cdot 2}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.11.3.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)}{2} + C_{4}$

Bước 2.3.11.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = \frac{1}{2} (e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + 2 x \sin (x) + 2 \cos (x)) + K$