Giải tích Ví dụ

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x y + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

Bước 1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Bước 1.4.2

Cộng $x$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 4 y - 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 4 y - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Vì $4 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $4 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.4

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.5

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.6

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.6.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

Bước 2.3.8

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Nhân $x + 4 y - 2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

Bước 2.3.8.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x + 4 y - 2$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x + 4 y - 2$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x = 2 x + 4 y - 2$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $2 x + 4 y - 2$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

Bước 4.3

Thay $x (x + 4 y - 2)$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x (x + 4 y - 2)$ bằng $N$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.2.2.3

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.2.3

Trừ $2 x$ khỏi $x$ .

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- x - 4 y + 2$ và $x + 4 y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x$ .

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 4 y$ .

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x) - (4 y)$ .

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3.4

Viết lại $2$ ở dạng $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3.5

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3.6

Viết lại $- (x + 4 y - 2)$ ở dạng $- 1 (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3.7

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Bước 4.3.3.8

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{x}$

Bước 4.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $- \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Bước 5.4.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x y + 1$ với $\frac{1}{x}$ .

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $x y + 1$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x (x + 4 y - 2)$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x + 4 y - 2$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Bước 8.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Bước 8.3

Vì $4$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

Bước 8.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

Bước 8.5

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

Bước 8.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

Bước 8.7

Rút gọn.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.3.3

Nhân $y$ với $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.4.1

Vì $2 y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.4.2

Vì $- 2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.6.1.1

Cộng $y$ và $0$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.6.1.2

Cộng $y$ và $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 11.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

Bước 12.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Tách phân số $\frac{x y + 1}{x}$ thành hai phân số.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Bước 12.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Bước 12.1.2.2.2

Chia $y$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y + \frac{1}{x} - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Trừ $y$ khỏi $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

Bước 12.1.3.2

Cộng $\frac{1}{x}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $\frac{1}{x}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 13.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$