Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 9}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 9} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 9} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x^{2} - 9$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 9$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 9$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $- 9$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 9$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 9$ .

$y + C_{1} = \ln (| x^{2} - 9 |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = \ln (| x^{2} - 9 |) + C$