Giải tích Ví dụ

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 3 + 3 x - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 + 3 x - y]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + 3 x - y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.2.2

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Bước 2.4

Vì $- y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + 0$

Bước 2.5

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $0$ và $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $3$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$1 = 3$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $3$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Bước 4.3

Thay $y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $y$ bằng $M$ .

$\frac{3 - 1}{y}$

Bước 4.3.2

Thay $y$ bằng $M$ .

$\frac{2}{y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Bước 5.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Bước 5.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Bước 5.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Rút gọn $2 \ln (| y |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Bước 5.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Bước 5.4.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$ với hệ số tích phân $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

$y \cdot y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $y$ với $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{1} y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Bước 6.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y^{1 + 2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Bước 6.2.2

Cộng $1$ và $2$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $3 + 3 x - y$ với $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) y^{2} d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y \cdot y^{2}) d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $y$ với $y^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Di chuyển $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y)) d y = 0$

Bước 6.5.2

Nhân $y^{2}$ với $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y^{1})) d y = 0$

Bước 6.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{2 + 1}) d y = 0$

Bước 6.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = y^{3}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{3} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y^{3} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 11.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $3 y^{2} x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $3 x y^{2}$ và $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 y^{2} x - y^{3} - 3 y^{2} x$

Bước 12.1.2.2

Trừ $3 y^{2} x$ khỏi $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3} + 0$

Bước 12.1.2.3

Cộng $3 y^{2} - y^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $3 y^{2} - y^{3}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Bước 13.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Bước 13.4

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Bước 13.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - y^{3} d y$

Bước 13.6

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - \int y^{3} d y$

Bước 13.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{3}$ đối với $y$ là $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Bước 13.8

Rút gọn.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.1

Kết hợp $3$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.9.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.9.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.9.2.2

Viết lại biểu thức.

$g (y) = 1 y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 13.9.3

Nhân $y^{3}$ với $1$ .

$g (y) = y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Bước 15

Kết hợp $y^{4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{y^{4}}{4} + C$