Giải tích Ví dụ

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 2 x + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x + x y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 1.2.2

Vì $2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Bước 2.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $0$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 0$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x = 0$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $x$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - x}{M}$

Bước 4.3

Thay $2 x + x y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2 x + x y$ bằng $M$ .

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

Bước 4.3.2

Trừ $x$ khỏi $0$ .

$\frac{- x}{2 x + x y}$

Bước 4.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $2 x + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

Bước 4.3.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

Bước 4.3.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{2 + y}$

Bước 4.3.5

Thay $2 x + x y$ bằng $M$ .

$- \frac{1}{2 + y}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

Bước 5.2

Giả sử $u = 2 + y$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Hãy đặt $u = 2 + y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Tính đạo hàm $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Bước 5.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 5.2.1.3

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Bước 5.2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 1$

Bước 5.2.1.5

Cộng $0$ và $1$ .

$1$

Bước 5.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.3

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Bước 5.4

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Bước 5.5

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + y$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

Bước 5.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.6.1

Rút gọn $- \ln (| 2 + y |)$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

Bước 5.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

Bước 5.6.3

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{2 + y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $2 x + x y$ với $\frac{1}{2 + y}$ .

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $2 x + x y$ với $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Bước 6.3

Đưa $x$ ra ngoài $2 x + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Bước 6.3.2

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Bước 6.3.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Bước 6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2 + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Bước 6.4.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x d x + y d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $y$ với $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

Bước 6.6

Kết hợp $y$ và $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = x$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Bước 11.3

Vì $\frac{1}{2} x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Bước 11.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\frac{y}{2 + y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Bước 12.3

Sắp xếp lại $2$ và $y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

Bước 12.4

Chia $y$ cho $y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$y$

$2$

$y$

$0$

Bước 12.4.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $y$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $y$ .

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

Bước 12.4.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

Bước 12.4.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $y + 2$

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

Bước 12.4.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

Bước 12.4.6

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

Bước 12.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Bước 12.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Bước 12.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

Bước 12.8

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

Bước 12.9

Nhân $2$ với $- 1$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

Bước 12.10

Giả sử $u = y + 2$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.10.1

Hãy đặt $u = y + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.10.1.1

Tính đạo hàm $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Bước 12.10.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 12.10.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Bước 12.10.1.4

Vì $2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $2$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 12.10.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 12.10.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 12.11

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Bước 12.12

Rút gọn.

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

Bước 12.13

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y + 2$ .

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Bước 13

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Bước 14

Rút gọn $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Bước 14.1.2

Rút gọn $- 2 \ln (| y + 2 |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

Bước 14.1.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| y + 2 |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

Bước 14.2

Để viết $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Bước 14.3

Kết hợp $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 14.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Bước 14.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1

Nhân $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.1.1

Nhân $2$ với $- 1$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

Bước 14.5.1.2

Rút gọn $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

Bước 14.5.2

Nhân các số mũ trong ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

Bước 14.5.2.2

Nhân $2$ với $2$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$