Giải tích Ví dụ

$x (x + 2 y) d y + (4 x y + 3 y^{2} - x) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 4 x y + 3 y^{2} - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y + 3 y^{2} - x]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 x y + 3 y^{2} - x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [4 x y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $4 x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $4 x y$ đối với $y$ là $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + \frac{d}{d y} [3 y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 y^{2}$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 3 (2 y) + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.4.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + \frac{d}{d y} [- x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y + 0$

Bước 2.5.2

Cộng $4 x + 6 y$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 6 y$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x (x + 2 y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2 y)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = x + 2 y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 2 y] + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2 y$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [2 y]) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.3

Vì $2 y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2 y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.4.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 2 y) \cdot 1$

Bước 3.3.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.6.1

Nhân $x + 2 y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 2 y$

Bước 3.3.6.2

Cộng $x$ và $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 2 y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $4 x + 6 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 x + 2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$4 x + 6 y = 2 x + 2 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $4 x + 6 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 x + 6 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $2 x + 2 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{N}$

Bước 5.3

Thay $x (x + 2 y)$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $x (x + 2 y)$ bằng $N$ .

$\frac{4 x + 6 y - (2 x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{4 x + 6 y - (2 x) - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{4 x + 6 y - 2 x - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2.4

Trừ $2 x$ khỏi $4 x$ .

$\frac{2 x + 6 y - 2 y}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2.5

Trừ $2 y$ khỏi $6 y$ .

$\frac{2 x + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2.6

Đưa $2$ ra ngoài $2 x + 4 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4 y}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2.6.2

Đưa $2$ ra ngoài $4 y$ .

$\frac{2 (x) + 2 (2 y)}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.2.6.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (x) + 2 (2 y)$ .

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (x + 2 y)}{x (x + 2 y)}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{x}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 6.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 6.3

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Bước 6.4

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Rút gọn $2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Bước 6.4.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Bước 6.4.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $(4 x y + 3 y^{2} - x) d x + x (x + 2 y) d y = 0$ với hệ số tích phân $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $4 x y + 3 y^{2} - x$ với $x^{2}$ .

$(4 x y + 3 y^{2} - x) x^{2} d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(4 x y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3.1.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(4 x^{2 + 1} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3.1.3

Cộng $2$ và $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x \cdot x^{2}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3.2

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x)) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3.2.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - (x^{2} x^{1})) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3.2.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{2 + 1}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.3.2.3

Cộng $2$ và $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.4

Nhân $x (x + 2 y)$ với $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x (x + 2 y) x^{2} d y = 0$

Bước 7.5

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.5.2

Nhân $x^{2}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2} x^{1} (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.5.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{2 + 1} (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.5.3

Cộng $2$ và $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + x^{3} (x + 2 y) d y = 0$

Bước 7.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Bước 7.7

Nhân $x^{3}$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1

Nhân $x^{3}$ với $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.7.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3} x^{1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Bước 7.7.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{3 + 1} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Bước 7.7.2

Cộng $3$ và $1$ .

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + x^{3} (2 y)) d y = 0$

Bước 7.8

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$(4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}) d x + (x^{4} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 2 x^{3} y d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{4} + 2 x^{3} y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int x^{4} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Bước 9.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{4} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Bước 9.3

Vì $2 x^{3}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2 x^{3}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Bước 9.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 9.5

Rút gọn.

$f (x, y) = x^{4} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Bước 9.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Bước 9.6.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = x^{4} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Bước 9.6.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = x^{4} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Bước 9.6.3

Nhân $x^{3}$ với $1$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{4} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.3.3

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $y$ .

$4 y x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.4

Tính $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.4.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{3} y^{2}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 y x^{3} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$4 y x^{3} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.4.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.5

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y x^{3} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 12.6

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Trừ $4 x^{3} y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y$

Bước 13.1.2

Trừ $3 x^{2} y^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 13.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $4 x^{3} y + 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 4 x^{3} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.3.1

Trừ $4 x^{3} y$ khỏi $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 13.1.3.2

Cộng $3 y^{2} x^{2} - x^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 y^{2} x^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 13.1.3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $3 y^{2} x^{2}$ và $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} y^{2} - x^{3} - 3 x^{2} y^{2}$

Bước 13.1.3.4

Trừ $3 x^{2} y^{2}$ khỏi $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3} + 0$

Bước 13.1.3.5

Cộng $- x^{3}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x^{3}$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $- x^{3}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x^{3} d x$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x^{3} d x$

Bước 14.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - \int x^{3} d x$

Bước 14.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Bước 14.5

Viết lại $- (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ ở dạng $- \frac{1}{4} x^{4} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{1}{4} x^{4} + C$

Bước 16

Kết hợp $x^{4}$ và $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{4} y + x^{3} y^{2} - \frac{x^{4}}{4} + C$