Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ , $f (4) = 1$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.1.3

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.3.1.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $4$ cho $x$ và $1$ cho $y$ trong $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$1 = 2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$ .

$2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Bước 4.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 1$

Bước 4.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 1$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cdot 2^{1} + K = 1$

Bước 4.2.4

Tính số mũ.

$2 \cdot 2 + K = 1$

Bước 4.2.5

Nhân $2$ với $2$ .

$4 + K = 1$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 1 - 4$

Bước 4.3.2

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$K = - 3$

Bước 5

Thay $- 3$ cho $K$ trong $y = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 3$ bằng $K$ .

$y = 2 x^{\frac{1}{2}} - 3$