Giải tích Ví dụ

$2 x y d y + (x^{2} - y^{2}) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.2.2

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y^{2}$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Bước 2.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Bước 2.4

Trừ $2 y$ khỏi $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y]$

Bước 3.2

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x y$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1$

Bước 3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $- 2 y$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $2 y$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = 2 y$

Bước 4.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$- 2 y = 2 y$ không phải là một đẳng thức.

Bước 5

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $- 2 y$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 5.2

Thay $2 y$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{N}$

Bước 5.3

Thay $2 x y$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Thay $2 x y$ bằng $N$ .

$\frac{- 2 y - (2 y)}{2 x y}$

Bước 5.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y - 1 \cdot 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 y}{2 x y}$

Bước 5.3.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $- 1 \cdot 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Bước 5.3.2.1.3

Đưa $y$ ra ngoài $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y (- 2 - 1 \cdot 2)}{2 x y}$

Bước 5.3.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{y (- 2 - 2)}{2 x y}$

Bước 5.3.2.3

Trừ $2$ khỏi $- 2$ .

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Bước 5.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y \cdot - 4}{2 x y}$

Bước 5.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4}{2 x}$

Bước 5.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Bước 5.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)}$

Bước 5.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x}$

Bước 5.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 2}{x}$

Bước 5.3.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{2}{x}$

Bước 5.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Bước 6

Tính $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Bước 6.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Bước 6.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Bước 6.4

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Bước 6.5

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Bước 6.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Rút gọn $- 2 \ln (| x |)$ bằng cách di chuyển $- 2$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Bước 6.6.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Bước 6.6.3

Loại bỏ giá trị tuyệt đối trong ${| x |}^{- 2}$ vì số mũ có lũy thừa chẵn luôn luôn dương.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Bước 6.6.4

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Bước 7

Nhân cả hai vế của $(x^{2} - y^{2}) d x + 2 x y d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{x^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $x^{2} - y^{2}$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(x^{2} - y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Bước 7.2

Nhân $x^{2} - y^{2}$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Bước 7.3

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y d y = 0$

Bước 7.4

Nhân $2 x y$ với $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 x y \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Bước 7.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Đưa $x$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Bước 7.5.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Bước 7.5.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + x (2 y) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Bước 7.5.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + 2 y \frac{1}{x} d y = 0$

Bước 7.6

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + y \frac{2}{x} d y = 0$

Bước 7.7

Kết hợp $y$ và $\frac{2}{x}$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{y \cdot 2}{x} d y = 0$

Bước 7.8

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} d x + \frac{2 y}{x} d y = 0$

Bước 8

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 y}{x} d y$

Bước 9

Lấy tích phân $N (x, y) = \frac{2 y}{x}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Vì $\frac{2}{x}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{2}{x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = \frac{2}{x} \int y d y$

Bước 9.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Viết lại $\frac{2}{x} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $\frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2} y^{2} + C$

Bước 9.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.1

Nhân $\frac{2}{x}$ với $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{x \cdot 2} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 \cdot x} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.3

Nhân $2$ với $x$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2}{2 x} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y^{2} + C$

Bước 9.3.2.5

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + C$

Bước 10

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$

Bước 11

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x} + g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{y^{2}}{x} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{x}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Vì $y^{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{y^{2}}{x}$ đối với $x$ là $y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.3.2

Viết lại $\frac{1}{x}$ ở dạng $x^{- 1}$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{2} (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{2} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.5.2

Kết hợp $y^{2}$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y^{2}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 12.5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$

Bước 13

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.1

Trừ $\frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} - \frac{(x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x + y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} + (- x - y) (x - y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.2

Khai triển $(- x - y) (x - y)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x (x - y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y (x - y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x \cdot x - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.3.1.1

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.3.1.1.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - (x \cdot x) - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.1.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - x (- y) - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 1 x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - y (- y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.6

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.3.1.6.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.6.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.7

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + 1 y^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.1.8

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - y x + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.2

Trừ $y x$ khỏi $x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.3.3.2.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + x y - 1 x y + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.2.2

Trừ $x y$ khỏi $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + 0 + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.3.3.3

Cộng $- x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y^{2} - x^{2} + y^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $- y^{2} - x^{2} + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.4.1

Cộng $- y^{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2} + 0}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.4.2

Cộng $- x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.5

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x^{2}}{x^{2}} = 0$

Bước 13.1.1.5.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 1 = 0$

Bước 13.1.2

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = 1$

Bước 14

Tìm nguyên hàm của $1$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 14.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 1$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int d x$

Bước 14.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int d x$

Bước 14.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$g (x) = x + C$

Bước 15

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{x} + x + C$