Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x^{2} y^{3}$ ra ngoài $x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x^{2} y^{3}$ ra ngoài $x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Bước 1.1.2

Đưa $x^{2} y^{3}$ ra ngoài $- x^{2} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

Bước 1.1.3

Đưa $x^{2} y^{3}$ ra ngoài $x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x + x y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

Bước 1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

Bước 1.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

Bước 1.2.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (y^{4})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

Bước 1.2.5

Nhân $x$ với $1 + y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

Bước 1.3

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

Bước 1.4

Nhân cả hai vế với $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.2.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.1.2.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.1.2.5

Chia $x (x - 1)$ cho $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.3

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.4

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.5

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Bước 1.5.6

Nhân $x^{2} - x$ với $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Bước 1.5.7

Triệt tiêu thừa số chung $1 + y^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Bước 1.5.7.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

Bước 1.5.8

Triệt tiêu thừa số chung $y^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.8.1

Đưa $y^{3}$ ra ngoài $(x^{2} - x) y^{3}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Bước 1.5.8.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Bước 1.5.8.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

Bước 1.6

Viết lại phương trình.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Di chuyển $y^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.1.2

Nhân các số mũ trong ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.1.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.2

Nhân $(1 + y^{4}) y^{- 3}$ .

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $y^{- 3}$ với $1$ .

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.3.2

Nhân $y^{4}$ với $y^{- 3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.3.2.2

Trừ $3$ khỏi $4$ .

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.3.3

Rút gọn $y^{1}$ .

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{- 3}$ đối với $y$ là $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.1

Rút gọn.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.7.2.1

Nhân $\frac{1}{y^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.7.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.2.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

Bước 2.3.3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

Bước 2.3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$