Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Bước 1.2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Bước 1.2.1.3

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

Bước 1.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $6 x - x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $6 x$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

Bước 1.2.2.2

Đưa $x$ ra ngoài $- x^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

Bước 1.2.2.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 6 + x (- x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = 6 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = 6 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $6 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2.2

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 2.3.2.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 2.3.2.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $u$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

Bước 2.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

Bước 2.3.5

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

Bước 2.3.6.2

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

Bước 2.3.7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u$ đối với $u$ là $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Bước 2.3.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.1

Viết lại $- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ ở dạng $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.8.2.1

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.8.2.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

Bước 2.3.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $6 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp ${(6 - x^{2})}^{2}$ và $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

Bước 3.2.2.1.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.1

Kết hợp $K$ và $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

Bước 3.2.2.1.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

Bước 3.2.2.1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.3.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

Bước 3.2.2.1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Bước 3.2.2.1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

Bước 3.2.2.1.4

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $K$ .

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

Bước 3.2.2.1.5

Rút gọn bằng cách đặt thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.5.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $- {(6 - x^{2})}^{2}$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

Bước 3.2.2.1.5.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $8 K$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

Bước 3.2.2.1.5.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Bước 3.2.2.1.5.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.5.4.1

Viết lại $- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ ở dạng $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Bước 3.2.2.1.5.4.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

Bước 3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại ${(6 - x^{2})}^{2}$ ở dạng $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.2

Khai triển $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.1

Nhân $6$ với $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.2

Nhân $- 1$ với $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.3

Nhân $6$ với $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.5

Nhân $x^{2}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1.5.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.5.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.5.3

Cộng $2$ và $2$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.1.7

Nhân $x^{4}$ với $1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.3.2

Trừ $6 x^{2}$ khỏi $- 6 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Bước 3.4.4

Viết lại $- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ ở dạng ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.4.1

Đưa lũy thừa hoàn hảo $1^{2}$ ra ngoài $36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

Bước 3.4.4.2

Đưa lũy thừa hoàn hảo $2^{2}$ ra ngoài $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Bước 3.4.4.3

Sắp xếp lại phân số $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Bước 3.4.4.4

Sắp xếp lại $- 1$ và ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Bước 3.4.4.5

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Bước 3.4.4.6

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Bước 3.4.5

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Bước 3.4.6

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Bước 3.4.7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$