Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d x} = (10 + 4 \sin (t)) y$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} ((10 + 4 \sin (t)) y)$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $y$ ra ngoài $(10 + 4 \sin (t)) y$ .

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y} (y (10 + 4 \sin (t)))$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} (2 \frac{d y}{d x}) = 10 + 4 \sin (t)$

Bước 1.3

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$\frac{1}{y} \cdot 2 \frac{d y}{d x} = 10 + 4 \sin (t)$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} \cdot 2 d y = (10 + 4 \sin (t)) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} \cdot 2 d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $2$ .

$\int \frac{2}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Bước 2.2.3

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int 10 + 4 \sin (t) d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = (10 + 4 \sin (t)) x + C_{2}$

Bước 2.3.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = x (10 + 4 \sin (t)) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \ln (| y |) = x (10 + 4 \sin (t)) + C$ cho $2$ .

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \ln (| y |)}{2} = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.2.1.2

Chia $\ln (| y |)$ cho $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x (10 + 4 \sin (t))}{2} + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $10 + 4 \sin (t)$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $x (10 + 4 \sin (t))$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2} + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\ln (| y |) = \frac{2 (x (5 + 2 \sin (t)))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\ln (| y |) = \frac{x (5 + 2 \sin (t))}{1} + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3.1.1.2.4

Chia $x (5 + 2 \sin (t))$ cho $1$ .

$\ln (| y |) = x (5 + 2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\ln (| y |) = x \cdot 5 + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3.1.3

Di chuyển $5$ sang phía bên trái của $x$ .

$\ln (| y |) = 5 \cdot x + x (2 \sin (t)) + \frac{C}{2}$

Bước 3.1.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$

Bước 3.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Bước 3.3

Viết lại $\ln (| y |) = 5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}} = | y |$

Bước 3.4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$ .

$| y | = e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Bước 3.4.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + \frac{C}{2}}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$

Bước 4.2

Viết lại $e^{5 x + 2 x \sin (t) + C}$ ở dạng $e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$ .

$y = \pm e^{5 x + 2 x \sin (t)} e^{C}$

Bước 4.3

Sắp xếp lại $e^{5 x + 2 x \sin (t)}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{5 x + 2 x \sin (t)}$

Bước 4.4

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{5 x + 2 x \sin (t)}$