Giải tích Ví dụ

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ cho $x^{2} + 1$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Chia mỗi số hạng trong $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = y^{2} + 1$ cho $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.2.1.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.3

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $1$ .

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Sắp xếp lại $x^{2}$ và $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Bước 2.3.2

Tích phân của $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ đối với $x$ là $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại phương trình ở dạng $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Bước 3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Bước 3.3

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Bước 3.4

Viết lại phương trình ở dạng $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Bước 3.5

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Bước 3.6

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 3.7

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Bước 3.8

Vì $y$ nằm ở vế phải phương trình, ta hoán đổi vế để nó nằm ở vế trái của phương trình.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Bước 3.9

Lấy nghịch đảo tang của cả hai vế của phương trình để trích xuất $\arctan (y)$ từ trong hàm tang.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Bước 3.10

Cộng $K$ cho cả hai vế của phương trình.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Bước 3.11

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$