Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$ , $y (0) = 3$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2}}{y}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$y d y = x^{2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int x^{2} d x$

Bước 2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Bước 3.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Bước 3.2.2.1.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Bước 3.2.2.1.3

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Bước 3.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Bước 3.4

Rút gọn $\pm \sqrt{\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $\frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Bước 3.4.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Bước 3.4.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K)}$

Bước 3.4.2

Để viết $K$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Bước 3.4.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Kết hợp $K$ và $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{3}}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Bước 3.4.3.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Bước 3.4.4

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{3} + 3 K}{3}}$

Bước 3.4.5

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$

Bước 3.4.6

Viết lại $\sqrt{\frac{2 (x^{3} + 3 K)}{3}}$ ở dạng $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.4.7

Nhân $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Bước 3.4.8

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.1

Nhân $\frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ với $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Bước 3.4.8.2

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Bước 3.4.8.3

Nâng $\sqrt{3}$ lên lũy thừa $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Bước 3.4.8.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Bước 3.4.8.5

Cộng $1$ và $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Bước 3.4.8.6

Viết lại ${\sqrt{3}}^{2}$ ở dạng $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{3}$ ở dạng $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 3.4.8.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 3.4.8.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4.8.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.8.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Bước 3.4.8.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Bước 3.4.8.6.5

Tính số mũ.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Bước 3.4.9

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.9.1

Kết hợp bằng các sử dụng quy tắc tích số cho các căn thức.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Bước 3.4.9.2

Nhân $3$ với $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Bước 3.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Bước 3.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Bước 3.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + 3 K)}}{3}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$

Bước 5

Vì $y$ dương ở điều kiện ban đầu $(0, 3)$ , nên chỉ xem xét $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ để tìm $K$ . Thay $0$ cho $x$ và $3$ cho $y$ .

$3 = \frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3}$

Bước 6

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} = 3$

Bước 6.2

Nhân cả hai vế với $3$ .

$\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Bước 6.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Rút gọn $\frac{\sqrt{6 (0^{3} + K)}}{3} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{\sqrt{6 (0 + K)}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Bước 6.3.1.1.1.2

Cộng $0$ và $K$ .

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Bước 6.3.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{6 K}}{3} \cdot 3 = 3 \cdot 3$

Bước 6.3.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\sqrt{6 K} = 3 \cdot 3$

Bước 6.3.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Nhân $3$ với $3$ .

$\sqrt{6 K} = 9$

Bước 6.4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Để loại bỏ dấu căn ở vế trái của phương trình, ta bình phương cả hai vế của phương trình.

${\sqrt{6 K}}^{2} = 9^{2}$

Bước 6.4.2

Rút gọn mỗi vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{6 K}$ ở dạng ${(6 K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Bước 6.4.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1

Rút gọn ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1

Nhân các số mũ trong ${({(6 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Bước 6.4.2.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

${(6 K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Bước 6.4.2.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

${(6 K)}^{1} = 9^{2}$

Bước 6.4.2.2.1.2

Rút gọn.

$6 K = 9^{2}$

Bước 6.4.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.3.1

Nâng $9$ lên lũy thừa $2$ .

$6 K = 81$

Bước 6.4.3

Chia mỗi số hạng trong $6 K = 81$ cho $6$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $6 K = 81$ cho $6$ .

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Bước 6.4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 K}{6} = \frac{81}{6}$

Bước 6.4.3.2.1.2

Chia $K$ cho $1$ .

$K = \frac{81}{6}$

Bước 6.4.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $81$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.3.1.1

Đưa $3$ ra ngoài $81$ .

$K = \frac{3 (27)}{6}$

Bước 6.4.3.3.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.3.3.1.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6$ .

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Bước 6.4.3.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$K = \frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 2}$

Bước 6.4.3.3.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$K = \frac{27}{2}$

Bước 7

Thay $\frac{27}{2}$ cho $K$ trong $y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + K)}}{3}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Thay $\frac{27}{2}$ bằng $K$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} + \frac{27}{2})}}{3}$

Bước 7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Để viết $x^{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Bước 7.2.2

Kết hợp $x^{3}$ và $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{27}{2})}}{3}$

Bước 7.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{x^{3} \cdot 2 + 27}{2}}}{3}$

Bước 7.2.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt{6 \frac{2 x^{3} + 27}{2}}}{3}$

Bước 7.2.5

Kết hợp $6$ và $\frac{2 x^{3} + 27}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}}}{3}$

Bước 7.2.6

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1

Rút gọn biểu thức $\frac{6 (2 x^{3} + 27)}{2}$ bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.6.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $6 (2 x^{3} + 27)$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2}}}{3}$

Bước 7.2.6.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 (1)}}}{3}$

Bước 7.2.6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{\sqrt{\frac{2 (3 (2 x^{3} + 27))}{2 \cdot 1}}}{3}$

Bước 7.2.6.1.4

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{\sqrt{\frac{3 (2 x^{3} + 27)}{1}}}{3}$

Bước 7.2.6.2

Chia $3 (2 x^{3} + 27)$ cho $1$ .

$y = \frac{\sqrt{3 (2 x^{3} + 27)}}{3}$