Giải tích Ví dụ

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Bước 1.2

Vì $\sin (3 x)$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\sin (3 x)$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Bước 2.2

Vì $2 y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 y \cos^{3} (3 x)$ đối với $x$ là $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = \cos (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Bước 2.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Bước 2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 2.5.2

Đạo hàm của $\cos (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 2.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Nhân $- 1$ với $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Bước 2.6.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 2.6.3

Nhân $3$ với $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.6.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Bước 2.6.5

Nhân $- 18$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $0$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $0$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Bước 4.3

Thay $2 y \cos^{3} (3 x)$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $2 y \cos^{3} (3 x)$ bằng $N$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.2.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.2.5

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Bước 4.3.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Bước 4.3.2.5.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $- 9$ với $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.3.2

Cộng $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ và $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.4

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $\cos^{2} (3 x)$ và $\cos^{3} (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.1

Đưa $\cos^{2} (3 x)$ ra ngoài $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Bước 4.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.5.2.1

Đưa $\cos^{2} (3 x)$ ra ngoài $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Bước 4.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Bước 4.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 4.3.6

Tách các phân số.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Bước 4.3.7

Quy đổi từ $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ sang $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Bước 4.3.8

Chia $9$ cho $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Bước 5.2

Giả sử $u = 3 x$ . Sau đó $d u = 3 d x$ , nên $\frac{1}{3} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Hãy đặt $u = 3 x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Tính đạo hàm $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 5.2.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Bước 5.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Bước 5.2.1.4

Nhân $3$ với $1$ .

$3$

Bước 5.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Bước 5.3

Kết hợp $\tan (u)$ và $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Bước 5.4

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Bước 5.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Bước 5.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.2.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Bước 5.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Bước 5.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Bước 5.5.2.2.4

Chia $3$ cho $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Bước 5.6

Tích phân của $\tan (u)$ đối với $u$ là $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Bước 5.7

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Bước 5.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Bước 5.9

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.9.1

Rút gọn $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ bằng cách di chuyển $3$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Bước 5.9.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ với hệ số tích phân $\sec^{3} (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $\sin (3 x)$ với $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.2

Viết lại $\sec (3 x)$ theo sin và cosin.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.5

Kết hợp $\sin (3 x)$ và $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.6

Đưa $\cos (3 x)$ ra ngoài $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.7

Tách các phân số.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.8

Quy đổi từ $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ sang $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.9

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.10

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.11

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (3 x)}$ sang $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.12

Nhân $2 y \cos^{3} (3 x)$ với $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Bước 6.13

Viết lại $\sec (3 x)$ theo sin và cosin.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Bước 6.14

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Bước 6.15

Triệt tiêu thừa số chung $\cos^{3} (3 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.15.1

Đưa $\cos^{3} (3 x)$ ra ngoài $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Bước 6.15.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Bước 6.15.3

Viết lại biểu thức.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Bước 6.16

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Bước 6.17

Nhân $2$ với $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = 2 y$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Bước 8.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Bước 8.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Viết lại $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ ở dạng $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Bước 8.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Bước 8.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Bước 8.3.2.3

Nhân $y^{2}$ với $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y^{2} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Bước 11.3

Vì $y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Bước 11.5

Cộng $0$ và $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Bước 12

Tìm nguyên hàm của $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Bước 12.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Bước 12.3

Giả sử $u_{2} = \sec (3 x)$ . Sau đó $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ , nên $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Hãy đặt $u_{2} = \sec (3 x)$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.1

Tính đạo hàm $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Bước 12.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sec (x)$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 12.3.1.2.2

Đạo hàm của $\sec (u_{1})$ đối với $u_{1}$ là $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 12.3.1.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Bước 12.3.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Bước 12.3.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Bước 12.3.1.3.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1.3.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Bước 12.3.1.3.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Bước 12.3.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Bước 12.4

Kết hợp $u_{2}$ và $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Bước 12.5

Vì $\frac{1}{3}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{3}$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Bước 12.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u_{2}$ đối với $u_{2}$ là $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Bước 12.7

Viết lại $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 12.8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.8.1

Nhân $\frac{1}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 12.8.2

Nhân $3$ với $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Bước 12.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Bước 13

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Bước 14

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$