Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{x (y - 1)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{y - 1}{y (y - 2)}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} (\frac{y (y - 2)}{y - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{y (y - 2)}{y - 1}$ với $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $y - 1$ ra ngoài $(y - 1) x$ .

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) (x)}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{y - 1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{(y - 1) x}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y (y - 2)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (y - 2)} \cdot \frac{y (y - 2)}{x}$

Bước 1.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \frac{1}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y - 1}{y (y - 2)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Giả sử $u = y (y - 2)$ . Sau đó $d u = (2 y - 2) d y$ , nên $\frac{1}{2} d u = (y - 1) d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Hãy đặt $u = y (y - 2)$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.1

Tính đạo hàm $y (y - 2)$ .

$\frac{d}{d y} [y (y - 2)]$

Bước 2.2.1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = y - 2$ .

$y \frac{d}{d y} [y - 2] + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y - 2$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$y (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3.3

Vì $- 2$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $y$ là $0$ .

$y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3.4

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.3.4.1

Cộng $1$ và $0$ .

$y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3.4.2

Nhân $y$ với $1$ .

$y + (y - 2) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 2.2.1.1.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$y + (y - 2) \cdot 1$

Bước 2.2.1.1.3.6

Rút gọn bằng cách cộng các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1.3.6.1

Nhân $y - 2$ với $1$ .

$y + y - 2$

Bước 2.2.1.1.3.6.2

Cộng $y$ và $y$ .

$2 y - 2$

Bước 2.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y (y - 2)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y (y - 2) |) = \ln (| x |) + C$