Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x + x y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $4 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x y^{2}}{2 + x^{2}}$

Bước 1.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 4 + x (y^{2})}{2 + x^{2}}$

Bước 1.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 4 + x (y^{2})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Bước 1.1.4

Nhân $x$ với $4 + y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (4 + y^{2})}{2 + x^{2}}$

Bước 1.2

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$

Bước 1.3

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{4 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} (\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2}))$

Bước 1.4

Triệt tiêu thừa số chung $4 + y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Đưa $4 + y^{2}$ ra ngoài $\frac{x}{2 + x^{2}} (4 + y^{2})$ .

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Bước 1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4 + y^{2}} ((4 + y^{2}) \frac{x}{2 + x^{2}})$

Bước 1.4.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 + x^{2}}$

Bước 1.5

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{4 + y^{2}} d y = \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Bước 2.2.3.2

Viết lại $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ ở dạng $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{x}{2 + x^{2}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = 2 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = 2 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $2 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [2 + x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.3

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.3.1.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.4

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Bước 2.3.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ với $2$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) + C$ với $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.1.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |) \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Rút gọn $\frac{1}{2} \ln (| 2 + x^{2} |)$ bằng cách di chuyển $\frac{1}{2}$ trong logarit.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2 + C \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.2

Nhân $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.2.1

Sắp xếp lại $\ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ và $2$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}}) + C \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.2.2

Rút gọn $2 \cdot \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})$ bằng cách di chuyển $2$ trong logarit.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}) + C \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.3

Nhân các số mũ trong ${({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + C \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln ({| 2 + x^{2} |}^{1}) + C \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.4

Rút gọn.

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + C \cdot 2$

Bước 3.1.3.1.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $C$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = \ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C$

Bước 3.2

Lấy arctang nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để tách $y$ ra khỏi bên trong arctang.

$\frac{y}{2} = \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Bước 3.3

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Bước 3.4

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Bước 3.4.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + 2 C)$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = 2 \tan (\ln (| 2 + x^{2} |) + C)$