Giải tích Ví dụ

$(y + \sin (x)) d y + (y \cos (x) - 2 x) d x = 0$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân cho phù hợp với kỹ thuật Phương trình vi phân chính xác.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Viết lại.

$(y \cos (x) - 2 x) d x + (y + \sin (x)) d y = 0$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y \cos (x) - 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) - 2 x]$

Bước 2.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y \cos (x) - 2 x$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\cos (x)$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y \cos (x)$ đối với $y$ là $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.3.3

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 2 x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $- 2 x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $\cos (x)$ và $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Bước 3

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = y + \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + \sin (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.2.2

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 3.3

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \cos (x)$

Bước 3.4

Cộng $0$ và $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Bước 4

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thế $\cos (x)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $\cos (x)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (x) = \cos (x)$

Bước 4.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$\cos (x) = \cos (x)$ là một đẳng thức.

Bước 5

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y + \sin (x) d y$

Bước 6

Lấy tích phân $N (x, y) = y + \sin (x)$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = \int y d y + \int \sin (x) d y$

Bước 6.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int \sin (x) d y$

Bước 6.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \sin (x) y + C$

Bước 6.4

Rút gọn.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + C$

Bước 7

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$

Bước 8

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9.2.2

Vì $\frac{1}{2} y^{2}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{1}{2} y^{2}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9.3

Tính $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\sin (x) y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9.3.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.5.1

Cộng $0$ và $y \cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Bước 9.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = y \cos (x) - 2 x$

Bước 10

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Trừ $y \cos (x)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$

Bước 10.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.2.1

Trừ $y \cos (x)$ khỏi $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Bước 10.1.2.2

Cộng $- 2 x$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Bước 11

Tìm nguyên hàm của $- 2 x$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Bước 11.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Bước 11.3

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Bước 11.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Bước 11.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Viết lại $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ ở dạng $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Bước 11.5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Bước 11.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Bước 11.5.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Bước 11.5.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Bước 11.5.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Bước 11.5.2.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Bước 12

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Bước 13

Rút gọn $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + y \sin (x) - x^{2} + C$