Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $2 y - 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 y - 2}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 y$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) - 2}$

Bước 1.2.1.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y) + 2 (- 1)}$

Bước 1.2.1.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 (y) + 2 (- 1)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = (2 y - 2) \frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$

Bước 1.2.2

Nhân $2 y - 2$ với $\frac{3 x^{2} + 4 x + 2}{2 (y - 1)}$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{2 (y - 1)}$

Bước 1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $2 y - 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $(2 y - 2) (3 x^{2} + 4 x + 2)$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Bước 1.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{2 ((y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2))}{2 (y - 1)}$

Bước 1.2.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Bước 1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung $y - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = \frac{(y - 1) (3 x^{2} + 4 x + 2)}{y - 1}$

Bước 1.2.4.2

Chia $3 x^{2} + 4 x + 2$ cho $1$ .

$(2 y - 2) \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 4 x + 2$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$(2 y - 2) d y = (3 x^{2} + 4 x + 2) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int 2 y - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Bước 2.2.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int y d y + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Bước 2.2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int - 2 d y = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Bước 2.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) - 2 y + C_{2} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Bước 2.2.5.2

Rút gọn.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} + 4 x + 2 d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Bước 2.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Bước 2.3.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int 4 x d x + \int 2 d x$

Bước 2.3.4

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 \int x d x + \int 2 d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int 2 d x$

Bước 2.3.6

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Bước 2.3.7.1.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$y^{2} - 2 y + C_{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + 2 x + C_{6}$

Bước 2.3.7.2

Rút gọn.

$y^{2} - 2 y + C_{3} = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + C_{7}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y^{2} - 2 y = x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Trừ $x^{3}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 2 y - x^{3} = 2 x^{2} + 2 x + K$

Bước 3.1.2

Trừ $2 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} = 2 x + K$

Bước 3.1.3

Trừ $2 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x = K$

Bước 3.1.4

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y^{2} - 2 y - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K = 0$

Bước 3.2

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.3

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 2$ , và $c = - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.1

Nâng $- 2$ lên lũy thừa $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.2

Nhân $- 4$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- x^{3} - 2 x^{2} - 2 x - K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- x^{3}) - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.4.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} - 4 (- 2 x^{2}) - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.4.2

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} - 4 (- 2 x) - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.4.3

Nhân $- 2$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x - 4 (- K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.4.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.5.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5.2

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 8 x^{2} + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5.3

Đưa $4$ ra ngoài $8 x^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 8 x + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5.4

Đưa $4$ ra ngoài $8 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 (x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5.5

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1 + 4 (x^{3})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5.6

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot (1 + x^{3}) + 4 (2 x^{2})$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5.7

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2}) + 4 (2 x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.5.8

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x) + 4 K$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.6

Viết lại $4 (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ ở dạng $2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1.6.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.6.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.7

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.1.8

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.4.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$

Bước 3.4.3

Rút gọn $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

Bước 3.5

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x^{3} + 2 x^{2} + 2 x + K}$