Giải tích Ví dụ

$(4 + e^{2 y}) d x = x e^{2 y} d y$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$x e^{2 y} d y = (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x (4 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x e^{2 y}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{4 + e^{2 y}}$ và $e^{2 y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $4 + e^{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $4 + e^{2 y}$ ra ngoài $x (4 + e^{2 y})$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + e^{2 y}]$

Bước 4.2.1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $4 + e^{2 y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Bước 4.2.1.1.2.2

Vì $4$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $4$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Bước 4.2.1.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.2.1.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.2.1.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.2.1.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Bước 4.2.1.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Bước 4.2.1.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Bước 4.2.1.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Bước 4.2.1.1.4

Cộng $0$ và $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.4

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.6

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) = \ln (| x |) + C$