Giải tích Ví dụ

$x d x + (y - 2) d y = 0$

Bước 1

Trừ $x d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$(y - 2) d y = - x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y - 2 d y = \int - x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int - x d x$

Bước 2.2.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int - x d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int - x d x$

Bước 2.2.4

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \int x d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Bước 2.3.3

Viết lại $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ ở dạng $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Bước 3.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{x^{2}}{2} + K$

Bước 3.3

Chuyển tất cả các biểu thức sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Cộng $\frac{x^{2}}{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} = K$

Bước 3.3.2

Trừ $K$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Bước 3.4

Nhân với mẫu số chung nhỏ nhất $2$ , sau đó rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.2

Nhân $- 2$ với $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} - 4 y + x^{2} + 2 (- K) = 0$

Bước 3.4.2.4

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} - 4 y + x^{2} - 2 K = 0$

Bước 3.4.3

Di chuyển $- 4 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Bước 3.4.4

Sắp xếp lại $y^{2}$ và $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Bước 3.5

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Bước 3.6

Thay các giá trị $a = 1$ , $b = - 4$ , và $c = x^{2} - 2 K$ vào công thức bậc hai và giải tìm $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.1.1

Đưa $- 4$ ra ngoài ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.1.2

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.1.3

Đưa $- 4$ ra ngoài $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.2

Nhân $x^{2} - 2 K$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3

Viết lại $- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)$ ở dạng $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.3.3

Thêm các dấu ngoặc đơn.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.1.4

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Bước 3.7.2

Nhân $2$ với $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$

Bước 3.7.3

Rút gọn $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Bước 3.8

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Bước 4

Rút gọn hằng số tích phân.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$