Giải tích Ví dụ

$\frac{d F}{d x} = 3 e^{x} + 2 x$ , $F (0) = 18$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d F = (3 e^{x} + 2 x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d F = \int 3 e^{x} + 2 x d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$F + C_{1} = \int 3 e^{x} + 2 x d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$F + C_{1} = \int 3 e^{x} d x + \int 2 x d x$

Bước 2.3.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$F + C_{1} = 3 \int e^{x} d x + \int 2 x d x$

Bước 2.3.3

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + \int 2 x d x$

Bước 2.3.4

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + 2 \int x d x$

Bước 2.3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$F + C_{1} = 3 (e^{x} + C_{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Bước 2.3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Rút gọn.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$F + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$F + C_{1} = 3 e^{x} + 1 x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.6.2.3

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$F + C_{1} = 3 e^{x} + x^{2} + C_{4}$

Bước 2.3.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$F + C_{1} = x^{2} + 3 e^{x} + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$F = x^{2} + 3 e^{x} + K$

Bước 3

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $K$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $18$ cho $F$ trong $F = x^{2} + 3 e^{x} + K$ .

$18 = 0^{2} + 3 e^{0} + K$

Bước 4

Giải tìm $K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại phương trình ở dạng $0^{2} + 3 e^{0} + K = 18$ .

$0^{2} + 3 e^{0} + K = 18$

Bước 4.2

Rút gọn $0^{2} + 3 e^{0} + K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 + 3 e^{0} + K = 18$

Bước 4.2.1.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 3 \cdot 1 + K = 18$

Bước 4.2.1.3

Nhân $3$ với $1$ .

$0 + 3 + K = 18$

Bước 4.2.2

Cộng $0$ và $3$ .

$3 + K = 18$

Bước 4.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $K$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Trừ $3$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$K = 18 - 3$

Bước 4.3.2

Trừ $3$ khỏi $18$ .

$K = 15$

Bước 5

Thay $15$ cho $K$ trong $F = x^{2} + 3 e^{x} + K$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Thay $15$ bằng $K$ .

$F = x^{2} + 3 e^{x} + 15$