Giải tích Ví dụ

$y d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x - x y + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x - x y + 2]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x - x y + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x y$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 2.4

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y + 0$

Bước 2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Cộng $1 - y$ và $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 - y$

Bước 2.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y + 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $1$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- y + 1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = - y + 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$1 = - y + 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $- y + 1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- y + 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Bước 4.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{M}$

Bước 4.3

Thay $y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $y$ bằng $M$ .

$\frac{- y + 1 - 1}{y}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$\frac{- y + 0}{y}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $- y$ và $0$ .

$\frac{- y}{y}$

Bước 4.3.3

Thay $y$ bằng $M$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- y}{y}$

Bước 4.3.3.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 1 d y}$

Bước 5

Tính $e^{\int - 1 d y}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$μ (x, y) = e^{- y + C}$

Bước 5.2

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- y} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $y d x + (x - x y + 2) d y = 0$ với hệ số tích phân $e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $y$ với $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $x - x y + 2$ với $e^{- y}$ .

$y e^{- y} d x + (x - x y + 2) e^{- y} d y = 0$

Bước 6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y e^{- y} d x + (x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}) d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y e^{- y} d x$

Bước 8

Lấy tích phân $M (x, y) = y e^{- y}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = y e^{- y} x + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (y)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $y$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x + g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y e^{- y} x + g (y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y e^{- y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d y} [y e^{- y} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $y e^{- y} x$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y e^{- y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y e^{- y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = e^{- y}$ .

$x (y \frac{d}{d y} [e^{- y}] + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $- y$ .

$x (y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ là $a^{u} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$x (y (e^{u} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$x (y (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (y (e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y])) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (y (e^{- y} (- 1 \cdot 1)) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (y (e^{- y} \cdot - 1) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.8

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $e^{- y}$ .

$x (y (- 1 \cdot e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.9

Viết lại $- 1 e^{- y}$ ở dạng $- e^{- y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y} \cdot 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.3.10

Nhân $e^{- y}$ với $1$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (y)$ là $\frac{d g}{d y}$ .

$x (y (- e^{- y}) + e^{- y}) + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x (y (- e^{- y})) + x e^{- y} + \frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 11.5.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{d g}{d y} - e^{- y} x y + e^{- y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - x y e^{- y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d y}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Cộng $x y e^{- y}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} + x e^{- y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y}$

Bước 12.1.2

Trừ $x e^{- y}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$

Bước 12.1.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x e^{- y} - x y e^{- y} + 2 e^{- y} + x y e^{- y} - x e^{- y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.3.1

Cộng $- x y e^{- y}$ và $x y e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} + 0 - x e^{- y}$

Bước 12.1.3.2

Cộng $x e^{- y} + 2 e^{- y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x e^{- y} + 2 e^{- y} - x e^{- y}$

Bước 12.1.3.3

Trừ $x e^{- y}$ khỏi $x e^{- y}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y} + 0$

Bước 12.1.3.4

Cộng $2 e^{- y}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $2 e^{- y}$ để tìm $g (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d y} = 2 e^{- y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 e^{- y} d y$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 e^{- y} d y$

Bước 13.3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 \int e^{- y} d y$

Bước 13.4

Giả sử $u = - y$ . Sau đó $d u = - d y$ , nên $- d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1

Hãy đặt $u = - y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.4.1.1

Tính đạo hàm $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Bước 13.4.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $- y$ đối với $y$ là $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Bước 13.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 13.4.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 13.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$g (y) = 2 \int - e^{u} d u$

Bước 13.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$g (y) = 2 (- \int e^{u} d u)$

Bước 13.6

Nhân $- 1$ với $2$ .

$g (y) = - 2 \int e^{u} d u$

Bước 13.7

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (e^{u} + C)$

Bước 13.8

Rút gọn.

$g (y) = - 2 e^{u} + C$

Bước 13.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $- y$ .

$g (y) = - 2 e^{- y} + C$

Bước 14

Thay cho $g (y)$ trong $f (x, y) = y e^{- y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$

Bước 15

Sắp xếp lại các thừa số trong $f (x, y) = y e^{- y} x - 2 e^{- y} + C$ .

$f (x, y) = y x e^{- y} - 2 e^{- y} + C$