Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 4$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 4 \int x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.3.3

Kết hợp $\frac{u_{1}}{2}$ và $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.5.2.2.4

Chia $- 2$ cho $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Bước 2.3.6

Giả sử $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ , nên $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1

Hãy đặt $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.6.1.1

Tính đạo hàm $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Bước 2.3.6.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $- {u_{1}}^{2}$ đối với $u_{1}$ là $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 2.3.6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Bước 2.3.6.1.4

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Bước 2.3.6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Bước 2.3.7.2

Kết hợp $e^{u_{2}}$ và $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Bước 2.3.9

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Bước 2.3.10

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Bước 2.3.11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11.2.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.11.3

Nhân $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Bước 2.3.12

Tích phân của $e^{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.13

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.13.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- {u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{2}} + C_{2}$

Bước 2.3.13.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2}} + K$