Giải tích Ví dụ

$(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = 1 + x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + x y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = - (1 + x^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$

Bước 2.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- (1 + x^{2})$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 x)$

Bước 2.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $x$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- 2 x$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = - 2 x$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$x = - 2 x$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $x$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $- 2 x$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{N}$

Bước 4.3

Thay $- (1 + x^{2})$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $- (1 + x^{2})$ bằng $N$ .

$\frac{x - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x - (- 2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{x^{1} - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - (- 2 x)}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $- (- 2 x)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.2.1.4

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot 1 + x (- (- 2))$ .

$\frac{x (1 - (- 2))}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.2.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{x (1 + 2)}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.2.3

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{x \cdot 3}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.3

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x$ .

$\frac{3 \cdot x}{- (1 + x^{2})}$

Bước 4.3.4

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3 x}{1 + x^{2}}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int - \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3 x}{1 + x^{2}} d x}$

Bước 5.2

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)}$

Bước 5.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x}$

Bước 5.4

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 5.4.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.4.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.4.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 5.4.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 5.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Bước 5.5.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Bước 5.6

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$μ (x, y) = e^{- 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 5.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.7.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 5.8

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Bước 5.9

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| u |)} + C$

Bước 5.10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 + x^{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)} + C$

Bước 5.11

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1

Nhân $- \frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.1.1

Sắp xếp lại $\ln (| 1 + x^{2} |)$ và $\frac{3}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |))} + C$

Bước 5.11.1.2

Rút gọn $\frac{3}{2} \ln (| 1 + x^{2} |)$ bằng cách di chuyển $\frac{3}{2}$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Bước 5.11.2

Rút gọn $- \ln ({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})$ bằng cách di chuyển $- 1$ trong logarit.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Bước 5.11.3

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = {({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Bước 5.11.4

Nhân các số mũ trong ${({| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.4.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Bước 5.11.4.2

Nhân $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.11.4.2.1

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Bước 5.11.4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Bước 5.11.4.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$μ (x, y) = {| 1 + x^{2} |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Bước 5.11.5

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| 1 + x^{2} |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(1 + x y) d x - (1 + x^{2}) d y = 0$ với hệ số tích phân $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $1 + x y$ với $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$(1 + x y) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Bước 6.2

Nhân $1 + x y$ với $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $- (1 + x^{2})$ với $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - (1 + x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 6.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 \cdot 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + (- 1 - x^{2}) \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 6.6

Nhân $- 1 - x^{2}$ với $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 6.7

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 6.8

Đưa $- 1$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1) - (x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 6.9

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (x^{2})$ .

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{- 1 (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 6.10

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = - \frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} y + C$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Kết hợp $y$ và $\frac{1 + x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 8.2.2

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 + x^{2})}^{- 1}} + C$

Bước 8.2.3

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ với ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1}} + C$

Bước 8.2.3.2

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} + C$

Bước 8.2.3.3

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Bước 8.2.3.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} + C$

Bước 8.2.3.5

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.3.5.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}}} + C$

Bước 8.2.3.5.2

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $- y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ đối với $x$ là $- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$- y \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.2

Viết lại $\frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$- y \frac{d}{d x} [{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- y (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = 1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + x^{2}$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.5

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.6

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- y (- {({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.8

Nhân các số mũ trong ${({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.8.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.8.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.8.2.3

Viết lại biểu thức.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.9

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.10

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.12

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.12.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.14

Cộng $0$ và $2 x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{1}{2} {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.15

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.16

Kết hợp $2$ và $\frac{{(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} (\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.17

Kết hợp $\frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ và $x$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 {(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.18

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.19

Triệt tiêu thừa số chung.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{2 x}{2 {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.20

Viết lại biểu thức.

$- y (- {(1 + x^{2})}^{- 1} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.21

Kết hợp $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ và ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ .

$- y (- \frac{x {(1 + x^{2})}^{- 1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.22

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{- 1}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.23

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với $1 + x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.23.1

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.23.1.1

Nâng $1 + x^{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.23.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.23.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.23.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.23.4

Cộng $1$ và $2$ .

$- y (- \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.24

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.25

Nhân $y$ với $1$ .

$y \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.3.26

Kết hợp $y$ và $\frac{x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.1

Trừ $\frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} - \frac{1 + x y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.1.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - (1 + x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.1.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 \cdot 1 - (x y)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.1.3.2

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y x - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.1.4

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y x - 1 - x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1.4.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $y x$ và $- x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x y - 1 - x y}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.1.4.2

Trừ $x y$ khỏi $x y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{0 - 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.1.4.3

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.1.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Bước 12.1.2

Cộng $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ cho cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Bước 13.3

Áp dụng quy tắc $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ để viết lại dạng lũy thừa dưới dạng căn thức.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(x^{2} + 1)}^{3}}} d x$

Bước 13.4

Giả sử $x = \tan (t)$ , trong đó $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Sau đó $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Lưu ý rằng vì $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , nên $\sec^{2} (t)$ dương.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.5

Rút gọn $\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.1

Áp dụng đẳng thức pytago.

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.5.2

Nhân các số mũ trong ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.5.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.5.2.2

Nhân $2$ với $3$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.5.3

Viết lại $\sec^{6} (t)$ ở dạng ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.5.4

Đưa các số hạng dưới dấu căn ra ngoài, giả sử đó là các số thực dương.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.6

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (t)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.6.1

Đưa $\sec^{2} (t)$ ra ngoài $\sec^{3} (t)$ .

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Bước 13.6.3

Viết lại biểu thức.

$g (x) = \int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Bước 13.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.7.1

Viết lại $\sec (t)$ theo sin và cosin.

$g (x) = \int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Bước 13.7.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$g (x) = \int 1 \cos (t) d t$

Bước 13.7.3

Nhân $\cos (t)$ với $1$ .

$g (x) = \int \cos (t) d t$

Bước 13.8

Tích phân của $\cos (t)$ đối với $t$ là $\sin (t)$ .

$g (x) = \sin (t) + C$

Bước 13.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $t$ với $\arctan (x)$ .

$g (x) = \sin (\arctan (x)) + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$

Bước 15

Rút gọn $f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \sin (\arctan (x)) + C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Vẽ một hình tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh $(1, x)$ , $(1, 0)$ , và gốc tọa độ. Khi đó $\arctan (x)$ là góc giữa trục x dương và tia bắt đầu tại điểm gốc tọa độ và đi qua $(1, x)$ . Do đó, $\sin (\arctan (x))$ là $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Bước 15.1.2

Nhân $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Bước 15.1.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.1

Nhân $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ với $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Bước 15.1.3.2

Nâng $\sqrt{1 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} + C$

Bước 15.1.3.3

Nâng $\sqrt{1 + x^{2}}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} + C$

Bước 15.1.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} + C$

Bước 15.1.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} + C$

Bước 15.1.3.6

Viết lại ${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ ở dạng $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + C$

Bước 15.1.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + C$

Bước 15.1.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Bước 15.1.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} + C$

Bước 15.1.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} + C$

Bước 15.1.3.6.5

Rút gọn.

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Bước 15.2

Để viết $- \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} + C$

Bước 15.3

Để viết $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân $\frac{y}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x^{2})} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.2

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với $1 + x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với $1 + x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.2.1.1

Nâng $1 + x^{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.2.4

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.3

Nhân $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ với $\frac{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.4

Nhân $1 + x^{2}$ với ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.4.1

Nhân $1 + x^{2}$ với ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.4.1.1

Nâng $1 + x^{2}$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.4.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.4.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} + C$

Bước 15.4.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}}} + C$

Bước 15.4.4.4

Cộng $2$ và $1$ .

$f (x, y) = - \frac{y (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x \sqrt{1 + x^{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{1 + x^{2}}$ ở dạng ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y (1 + x^{2}) + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{- y \cdot 1 - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.4

Nhân ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ với ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.4.1

Di chuyển ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x ({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.4.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.4.4

Cộng $1$ và $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.4.5

Chia $2$ cho $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x {(1 + x^{2})}^{1}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.5

Rút gọn $x {(1 + x^{2})}^{1}$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x (1 + x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.6

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.7

Nhân $x$ với $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x \cdot x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.8

Nhân $x$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.8.1

Nhân $x$ với $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.8.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1} x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.8.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{1 + 2}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.8.2

Cộng $1$ và $2$ .

$f (x, y) = \frac{- y - y x^{2} + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.9

Viết lại $- y - y x^{2} + x + x^{3}$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.9.1

Đưa ước số chung lớn nhất từ từng nhóm ra ngoài.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.6.9.1.1

Nhóm hai số hạng đầu tiên và hai số hạng cuối.

$f (x, y) = \frac{(- y - y x^{2}) + x + x^{3}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.9.1.2

Đưa ước số chung lớn nhất (ƯCLN) từ từng nhóm ra ngoài.

$f (x, y) = \frac{y \cdot (- 1 - x^{2}) - x (- 1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$

Bước 15.6.9.2

Phân tích đa thức thành thừa số bằng cách đưa ước số chung lớn nhất ra ngoài, $- 1 - x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(- 1 - x^{2}) (y - x)}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + C$