Giải tích Ví dụ

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Bước 1

Trừ $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3.3

Sắp xếp lại các thừa số trong $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3.5

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2} \ln (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Bước 3.6.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Giả sử $u = \ln (y)$ . Sau đó $d u = \frac{1}{y} d y$ , nên $y d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1

Hãy đặt $u = \ln (y)$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1.1.1

Tính đạo hàm $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Bước 4.2.1.1.2

Đạo hàm của $\ln (y)$ đối với $y$ là $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Bước 4.2.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Bước 4.2.2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Bước 4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Bước 4.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Bước 5.2

Viết lại $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Bước 5.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Bước 5.3.2

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Bước 5.3.2.2

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Bước 5.3.2.3

Viết lại $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Bước 5.3.2.4

Viết lại phương trình ở dạng $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Bước 6

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $e^{- 3 x + C}$ ở dạng $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Bước 6.2

Sắp xếp lại $e^{- 3 x}$ và $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Bước 6.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$