Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Bước 1

Viết lại phương trình.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Giả sử $u = c x + d$ . Sau đó $d u = c d x$ , nên $\frac{1}{c} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Hãy đặt $u = c x + d$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.1

Tính đạo hàm $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Bước 2.3.1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $c x + d$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 2.3.1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [c x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.3.1

Vì $c$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $c x$ đối với $x$ là $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 2.3.1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 2.3.1.1.3.3

Nhân $c$ với $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Bước 2.3.1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1.4.1

Vì $d$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $d$ đối với $x$ là $0$ .

$c + 0$

Bước 2.3.1.1.4.2

Cộng $c$ và $0$ .

$c$

Bước 2.3.1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Bước 2.3.2

Nhân $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ với $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Bước 2.3.3

Vì $\frac{1}{c}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{c}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Bước 2.3.4

Chia phân số thành nhiều phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Bước 2.3.5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.6

Vì $a$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $a$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Nhân $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ với $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7.2

Kết hợp.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7.4

Triệt tiêu thừa số chung $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7.4.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7.5

Kết hợp $c$ và $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7.6

Triệt tiêu thừa số chung $c$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.7.6.2

Chia $d$ cho $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.8

Vì $\frac{1}{c}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{c}$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.9

Chia phân số thành nhiều phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.10

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.11.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.11.2

Viết lại biểu thức.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.14

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.15

Vì $d$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $d$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.16

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.17

Kết hợp $\frac{1}{c}$ và $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Bước 2.3.18

Vì $b$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $b$ ra khỏi tích phân.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.19

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Bước 2.3.20

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.20.1

Rút gọn.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Bước 2.3.20.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.20.2.1

Để viết $b \ln (| u |)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Bước 2.3.20.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Bước 2.3.20.2.3

Nhân $\frac{1}{c}$ với $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Bước 2.3.20.2.4

Nâng $c$ lên lũy thừa $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Bước 2.3.20.2.5

Nâng $c$ lên lũy thừa $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Bước 2.3.20.2.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Bước 2.3.20.2.7

Cộng $1$ và $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Bước 2.3.21

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$