Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

Bước 1

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

Bước 1.2

Lấy tích phân $\frac{2}{20 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

Bước 1.2.2

Giả sử $u = 20 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Hãy đặt $u = 20 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 1.2.2.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 1.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

Bước 1.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

Bước 1.2.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

Bước 1.2.5

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Bước 1.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Bước 1.2.7

Rút gọn.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Bước 1.2.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $20 - x$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

Bước 1.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

Bước 1.4

Dùng quy tắc lũy thừa logarit.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

Bước 1.5

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

${(20 - x)}^{- 2}$

Bước 1.6

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

Bước 2

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân từng số hạng với $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Bước 2.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Kết hợp $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ và $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Bước 2.2.2

Kết hợp $\frac{2}{20 - x}$ và $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Bước 2.2.3

Nhân $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ với $\frac{2 y}{20 - x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Bước 2.2.3.2

Nhân ${(20 - x)}^{2}$ với $20 - x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nhân ${(20 - x)}^{2}$ với $20 - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1.1

Nâng $20 - x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Bước 2.2.3.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Bước 2.2.3.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Bước 2.3

Kết hợp $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ và $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Bước 3

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Bước 4

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Bước 5

Lấy tích phân vế trái.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Bước 6.2

Giả sử $u = 20 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Hãy đặt $u = 20 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Viết lại.

$\frac{- 1}{1}$

Bước 6.2.1.2

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- 1$

Bước 6.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Bước 6.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 6.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Bước 6.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $- 1$ với $4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 6.5.2

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 6.5.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 6.5.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

Bước 6.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

Bước 6.7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.1

Viết lại $- 4 (- u^{- 1} + C)$ ở dạng $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

Bước 6.7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.7.2.1

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

Bước 6.7.2.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

Bước 6.8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $20 - x$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

Bước 7

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Trừ $\frac{4}{20 - x}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

Bước 7.1.2

Trừ $C$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Bước 7.1.3

Kết hợp $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ và $y$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Bước 7.1.4

Để viết $- \frac{4}{20 - x}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

Bước 7.1.5

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là ${(20 - x)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.5.1

Nhân $\frac{4}{20 - x}$ với $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

Bước 7.1.5.2

Nâng $20 - x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

Bước 7.1.5.3

Nâng $20 - x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

Bước 7.1.5.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

Bước 7.1.5.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Bước 7.1.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Bước 7.1.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Bước 7.1.7.2

Nhân $- 4$ với $20$ .

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Bước 7.1.7.3

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Bước 7.1.8

Để viết $- C$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.9

Kết hợp $- C$ và $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.10

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.1

Viết lại ${(20 - x)}^{2}$ ở dạng $(20 - x) (20 - x)$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.2

Khai triển $(20 - x) (20 - x)$ bằng cách sử dụng Phương pháp FOIL.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3

Rút gọn và kết hợp các số hạng đồng dạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.3.1.1

Nhân $20$ với $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.1.2

Nhân $- 1$ với $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.1.3

Nhân $20$ với $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.1.4

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.1.5

Nhân $x$ với $x$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.3.1.5.1

Di chuyển $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.1.5.2

Nhân $x$ với $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.1.6

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.1.7

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.3.2

Trừ $20 x$ khỏi $- 20 x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.11.5.1

Nhân $400$ với $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.5.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.1.11.6

Nhân $- 1$ với $- 40$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Bước 7.2

Cho tử bằng không.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

Bước 7.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Cộng $80$ cho cả hai vế của phương trình.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

Bước 7.3.2

Trừ $4 x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

Bước 7.3.3

Cộng $400 C$ cho cả hai vế của phương trình.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

Bước 7.3.4

Trừ $40 C x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

Bước 7.3.5

Cộng $C x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$