Giải tích Ví dụ

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Bước 1

Viết lại phương trình vi phân ở dạng $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ cho $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Bước 1.2.2

Chia $\frac{d y}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Bước 1.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

Bước 2

Thừa số tích phân được xác định bằng công thức $e^{\int P (x) d x}$ , trong đó $P (x) = \frac{3}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

Bước 2.2

Áp dụng quy tắc hằng số.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

Bước 2.3

Loại trừ hằng số tích phân.

$e^{\frac{3}{2} x}$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}}$

Bước 3

Nhân mỗi số hạng với thừa số tích phân $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân từng số hạng với $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Bước 3.2.2

Kết hợp $\frac{3}{2}$ và $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Bước 3.2.3

Kết hợp $\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ và $y$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Bước 3.3

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

Bước 3.4

Nhân $e^{\frac{3 x}{2}}$ với $e^{- x}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Di chuyển $e^{- x}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

Bước 3.4.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

Bước 3.4.3

Để viết $- x$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Bước 3.4.4

Kết hợp $- x$ và $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Bước 3.4.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

Bước 3.4.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x \cdot 2 + 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.6.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $- x \cdot 2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

Bước 3.4.6.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $3 x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

Bước 3.4.6.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

Bước 3.4.6.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

Bước 3.4.6.3

Cộng $- 2$ và $3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

Bước 3.4.7

Nhân $x$ với $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

Bước 3.5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Bước 3.6

Sắp xếp lại các thừa số trong $e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Bước 4

Viết lại vế trái ở dạng kết quả của phép tính đạo hàm một tích.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Bước 5

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Bước 6

Lấy tích phân vế trái.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Bước 7

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Bước 7.2

Giả sử $u = \frac{x}{2}$ . Sau đó $d u = \frac{1}{2} d x$ , nên $2 d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Hãy đặt $u = \frac{x}{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1.1

Tính đạo hàm $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Bước 7.2.1.2

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Bước 7.2.1.4

Nhân $\frac{1}{2}$ với $1$ .

$\frac{1}{2}$

Bước 7.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Bước 7.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

Bước 7.4

Vì $2$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Bước 7.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Bước 7.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Bước 7.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

Bước 7.5.3

Nhân $\int e^{u} d u$ với $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

Bước 7.6

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

Bước 7.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

Bước 7.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

Bước 8

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ cho $e^{\frac{3 x}{2}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Chia mỗi số hạng trong $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ cho $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.2.1.2

Chia $y$ cho $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $e^{\frac{1}{2} x}$ và $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.1

Đưa $e^{\frac{3 x}{2}}$ ra ngoài $e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.1.2.1

Nhân với $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.1.2.4

Chia $e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ cho $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 3 x$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.2.3

Trừ $3$ khỏi $1$ .

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $x \cdot - 2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.3.2.4

Chia $x \cdot - 1$ cho $1$ .

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.4

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của $x$ .

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 8.3.1.5

Viết lại $- 1 x$ ở dạng $- x$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Bước 9

Dùng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$ bằng cách thay $0$ cho $x$ và $5$ cho $y$ trong $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ .

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

Bước 10

Giải tìm $C$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Viết lại phương trình ở dạng $e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Bước 10.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Bước 10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $3 \cdot 0$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

Bước 10.2.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

Bước 10.2.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

Bước 10.2.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

Bước 10.2.2.2.4

Chia $3 \cdot 0$ cho $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Bước 10.2.3

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Nhân $3$ với $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Bước 10.2.3.2

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 5$

Bước 10.2.4

Chia $C$ cho $1$ .

$1 + C = 5$

Bước 10.3

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $C$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.3.1

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$C = 5 - 1$

Bước 10.3.2

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$C = 4$

Bước 11

Thay $4$ cho $C$ trong $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay $4$ bằng $C$ .

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$