Giải tích Ví dụ

$x d x + y e^{- x} d y = 0$

Bước 1

Trừ $x d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$y e^{- x} d y = - x d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (y e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $e^{- x}$ ra ngoài $y e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$y d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Bước 3.2

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$y d y = - \frac{1}{e^{- x}} x d x$

Bước 3.3

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Bước 4.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Bước 4.3.2

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Làm âm số mũ của $e^{- x}$ và đưa nó ra ngoài mẫu số.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.2.2

Nhân các số mũ trong ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.2.2.2

Nhân $- x \cdot - 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.2.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{1 x} d x$

Bước 4.3.2.2.2.2

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Bước 4.3.3

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Bước 4.3.4

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Bước 4.3.5

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

Bước 5

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Nhân cả hai vế của phương trình với $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Bước 5.2

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1

Rút gọn $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Bước 5.2.1.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Bước 5.2.1.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Rút gọn $2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x}) - - e^{x} + K)$

Bước 5.2.2.1.1.2

Nhân $- - e^{x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1.2.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + 1 e^{x} + K)$

Bước 5.2.2.1.1.2.2

Nhân $e^{x}$ với $1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + e^{x} + K)$

Bước 5.2.2.1.2

Rút gọn bằng cách nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$y^{2} = 2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K$

Bước 5.2.2.1.2.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$y^{2} = - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$

Bước 5.3

Lấy căn đã chỉ định của cả hai vế của phương trình để loại bỏ số mũ ở vế trái.

$y = \pm \sqrt{- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K}$

Bước 5.4

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 x e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K}$

Bước 5.4.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Bước 5.4.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Bước 5.4.4

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x})$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K}$

Bước 5.4.5

Đưa $2$ ra ngoài $2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Bước 5.5

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Đầu tiên, sử dụng giá trị dương của $\pm$ để tìm đáp án đầu tiên.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Bước 5.5.2

Tiếp theo, sử dụng giá trị âm của $\pm$ để tìm đáp án thứ hai.

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Bước 5.5.3

Đáp án hoàn chỉnh là kết quả của cả hai phần dương và âm của đáp án.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$