Giải tích Ví dụ

$(x + 2 y) d x + x d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = x + 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 2 y$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.2.2

Vì $x$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \cdot 1$

Bước 1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2$

Bước 1.4

Cộng $0$ và $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $2$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $1$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Bước 3.2

Vì vế trái không bằng vế phải, nên phương trình không phải là một đẳng thức.

$2 = 1$ không phải là một đẳng thức.

Bước 4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Thay $2$ bằng $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Bước 4.2

Thay $1$ bằng $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Bước 4.3

Thay $x$ bằng $N$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay $x$ bằng $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Bước 4.3.2

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\frac{1}{x}$

Bước 4.4

Tìm thừa số tích phân $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Bước 5

Tính $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ ở dạng tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Bước 5.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Rút gọn.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Bước 5.2.2

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$μ (x, y) = | x | + C$

Bước 6

Nhân cả hai vế của $(x + 2 y) d x + x d y = 0$ với hệ số tích phân $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $x + 2 y$ với $x$ .

$(x + 2 y) x d x + x d y = 0$

Bước 6.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$(x \cdot x + 2 y x) d x + x d y = 0$

Bước 6.3

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x d y = 0$

Bước 6.4

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x \cdot x d y = 0$

Bước 6.5

Nhân $x$ với $x$ .

$(x^{2} + 2 y x) d x + x^{2} d y = 0$

Bước 7

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Bước 8

Lấy tích phân $N (x, y) = x^{2}$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Bước 9

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Bước 10

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} + 2 y x$

Bước 11

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Bước 11.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} y + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Bước 11.3

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x^{2} y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Bước 11.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Bước 11.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} + 2 y x$

Bước 11.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x$

Bước 11.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = x^{2} + 2 y x$

Bước 12

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Trừ $2 x y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 y x - 2 x y$

Bước 12.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $x^{2} + 2 y x - 2 x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong các số hạng $2 y x$ và $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 2 x y - 2 x y$

Bước 12.1.2.2

Trừ $2 x y$ khỏi $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} + 0$

Bước 12.1.2.3

Cộng $x^{2}$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2}$

Bước 13

Tìm nguyên hàm của $x^{2}$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} d x$

Bước 13.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} d x$

Bước 13.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 14

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Bước 15

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \frac{x^{3}}{3} + C$