Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{x}}$ với $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Bước 1.2.3.2

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Bước 1.2.3.3

Nâng $\sqrt{x}$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Bước 1.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.3.5

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Bước 1.2.3.6

Viết lại ${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.3.6.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}$

Bước 1.2.3.6.5

Rút gọn.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Bước 2.3.1.2

Chia phân số thành nhiều phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.2.1

Nhân $x$ với $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.2.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.4

Trừ $1$ khỏi $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Di chuyển $x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.1.3.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.1.3.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.3.1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- \frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ ở dạng $e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$