Giải tích Ví dụ

\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{x}}

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{\sqrt{x}}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với

\frac{1}{y}

$\frac{1}{y}$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung

y

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2.2

Nhân

\frac{1}{\sqrt{x}}

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ với

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Bước 1.2.3

Kết hợp và rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.1

Nhân

\frac{1}{\sqrt{x}}

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ với

\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Bước 1.2.3.2

Nâng

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Bước 1.2.3.3

Nâng

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ lên lũy thừa

1

$1$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Bước 1.2.3.4

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Bước 1.2.3.5

Cộng

1

$1$ và

1

$1$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Bước 1.2.3.6

Viết lại

{\sqrt{x}}^{2}

${\sqrt{x}}^{2}$ ở dạng

x

$x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ ở dạng

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Bước 1.2.3.6.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Bước 1.2.3.6.3

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

2

$2$ .

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.3.6.4

Triệt tiêu thừa số chung

2

$2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.3.6.4.1

Triệt tiêu thừa số chung.

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Bước 1.2.3.6.4.2

Viết lại biểu thức.

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}$

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x^{1}}$

Bước 1.2.3.6.5

Rút gọn.

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\sqrt{x}}{x}$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x

$\frac{1}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 2.2

Tích phân của

\frac{1}{y}

$\frac{1}{y}$ đối với

y

$y$ là

ln (| y |)

$\ln (| y |)$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.1

Sử dụng

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ ở dạng

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Bước 2.3.1.2

Chia phân số thành nhiều phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.1

Di chuyển

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm

b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}

$b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2

Nhân

x

$x$ với

x^{- \frac{1}{2}}

$x^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.2.1

Nhân

x

$x$ với

x^{- \frac{1}{2}}

$x^{- \frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.2.2.1.1

Nâng

x

$x$ lên lũy thừa

1

$1$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.2

Viết

1

$1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.2.2.4

Trừ

1

$1$ khỏi

2

$2$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2.3.1.3

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.1

Di chuyển

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa

- 1

$- 1$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Bước 2.3.1.3.2

Nhân các số mũ trong

{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1.3.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau,

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Bước 2.3.1.3.2.2

Kết hợp

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ và

- 1

$- 1$ .

ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Bước 2.3.1.3.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Bước 2.3.2

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của

$x^{- \frac{1}{2}}$ đối với

$x$ là

$2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành

$C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 3

Giải tìm

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm

$y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 3.2

Viết lại

$\ln (| y |) = 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu

$x$ và

$b$ là các số thực dương và

$b \neq 1$ , thì

$\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với

$b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm

$y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng

$| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 3.3.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một

$\pm$ ở vế phải của phương trình vì

$| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại

$e^{2 x^{\frac{1}{2}} + C}$ ở dạng

$e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{\frac{1}{2}}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại

$e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$ và

$e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{2 x^{\frac{1}{2}}}$