Giải tích Ví dụ

$m x d y = n y d x$

Bước 1

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{1}{x (y)} (m x) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Bước 2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $m x$ .

$\frac{1}{x (y)} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Bước 2.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x y} (x m) d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Bước 2.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} m d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Bước 2.2

Kết hợp $\frac{1}{y}$ và $m$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x y} (n y) d x$

Bước 2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (n y) d x$

Bước 2.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $n y$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Bước 2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{y x} (y n) d x$

Bước 2.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{m}{y} d y = \frac{1}{x} n d x$

Bước 2.4

Kết hợp $\frac{1}{x}$ và $n$ .

$\frac{m}{y} d y = \frac{n}{x} d x$

Bước 3

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{m}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Bước 3.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $m$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $m$ ra khỏi tích phân.

$m \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{n}{x} d x$

Bước 3.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$m (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{n}{x} d x$

Bước 3.2.3

Rút gọn.

$m \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{n}{x} d x$

Bước 3.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $n$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $n$ ra khỏi tích phân.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \int \frac{1}{x} d x$

Bước 3.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$m \ln (| y |) + C_{1} = n (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 3.3.3

Rút gọn.

$m \ln (| y |) + C_{1} = n \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 3.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$m \ln (| y |) = n \ln (| x |) + C$

Bước 4

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$m \ln (| y |) - n \ln (| x |) = C$

Bước 4.2

Cộng $n \ln (| x |)$ cho cả hai vế của phương trình.

$m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$

Bước 4.3

Chia mỗi số hạng trong $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ cho $\ln (| y |)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Chia mỗi số hạng trong $m \ln (| y |) = C + n \ln (| x |)$ cho $\ln (| y |)$ .

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Bước 4.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (| y |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{m \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Bước 4.3.2.1.2

Chia $m$ cho $1$ .

$m = \frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$

Bước 4.4

Viết lại phương trình ở dạng $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$

Bước 4.5

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ với $\ln (| y |)$ để loại bỏ các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.1

Nhân mỗi số hạng trong $\frac{C}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} = m$ với $\ln (| y |)$ .

$\frac{C}{\ln (| y |)} \ln (| y |) + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Bước 4.5.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.5.2.1.1

Kết hợp $\frac{C}{\ln (| y |)}$ và $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)} \ln (| y |) = m \ln (| y |)$

Bước 4.5.2.1.2

Kết hợp $\frac{n \ln (| x |)}{\ln (| y |)}$ và $\ln (| y |)$ .

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} = m \ln (| y |)$

Bước 4.6

Chuyển tất cả các số hạng có chứa logarit sang vế trái của phương trình.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Bước 4.7

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (| y |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{C \ln (| y |)}{\ln (| y |)} + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Bước 4.7.1.2

Chia $C$ cho $1$ .

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Bước 4.7.2

Triệt tiêu thừa số chung $\ln (| y |)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$C + \frac{n \ln (| x |) \ln (| y |)}{\ln (| y |)} - m \ln (| y |) = 0$

Bước 4.7.2.2

Chia $n \ln (| x |)$ cho $1$ .

$C + n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = 0$

Bước 4.8

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\ln (| y |)$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.8.1

Trừ $C$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$n \ln (| x |) - m \ln (| y |) = - C$

Bước 4.8.2

Trừ $n \ln (| x |)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$

Bước 4.9

Chia mỗi số hạng trong $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ cho $- m$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.1

Chia mỗi số hạng trong $- m \ln (| y |) = - C - n \ln (| x |)$ cho $- m$ .

$\frac{- m \ln (| y |)}{- m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Bước 4.9.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Bước 4.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $m$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{m \ln (| y |)}{m} = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Bước 4.9.2.2.2

Chia $\ln (| y |)$ cho $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{- C}{- m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Bước 4.9.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.9.3.1.1

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{- n \ln (| x |)}{- m}$

Bước 4.9.3.1.2

Chia hai giá trị âm cho nhau sẽ có kết quả là một giá trị dương.

$\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$

Bước 4.10

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Bước 4.11

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}} = | y |$

Bước 4.12

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.12.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$ .

$| y | = e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$

Bước 4.12.2

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{C}{m} + \frac{n \ln (| x |)}{m}}$