Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{y^{2} + 3}{y}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} (\frac{2 x}{x^{2} - 2} \cdot \frac{y}{y^{2} + 3})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nhân $\frac{2 x}{x^{2} - 2}$ với $\frac{y}{y^{2} + 3}$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)}$

Bước 1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2} + 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Đưa $y^{2} + 3$ ra ngoài $(x^{2} - 2) (y^{2} + 3)$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Bước 1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 3}{y} \cdot \frac{2 x y}{(y^{2} + 3) (x^{2} - 2)}$

Bước 1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x y}{x^{2} - 2}$

Bước 1.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $2 x y$ .

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Bước 1.3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y (2 x)}{x^{2} - 2}$

Bước 1.3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2} + 3}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} - 2}$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{y^{2} + 3}{y} d y = \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y^{2} + 3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{y^{2}}{y} + \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{y^{2}}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung của $y^{2}$ và $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.2.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y^{1}} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.3.2.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{y \cdot y}{y \cdot 1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.3.2.4

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{y}{1} d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.3.2.5

Chia $y$ cho $1$ .

$\int y d y + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{3}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.5

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.6

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 3 (\ln (| y |) + C_{2}) = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.2.7

Rút gọn.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{2 x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{x}{x^{2} - 2} d x$

Bước 2.3.2

Giả sử $u = x^{2} - 2$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Hãy đặt $u = x^{2} - 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 2]$

Bước 2.3.2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2]$

Bước 2.3.2.1.4

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.3.2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.3.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Nhân $\frac{1}{u}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Bước 2.3.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Bước 2.3.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Bước 2.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u} d u$ với $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Bước 2.3.6

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Bước 2.3.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x^{2} - 2 |) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 3 \ln (| y |) = \ln (| x^{2} - 2 |) + C$