Giải tích Ví dụ

$(1 + e^{2 y}) d x + (2 x e^{2 y}) d y = 0$

Bước 1

Trừ $(1 + e^{2 y}) d x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$2 x e^{2 y} d y = - (1 + e^{2 y}) d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (2 x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$2 \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Bước 3.2

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $x$ ra ngoài $x e^{2 y}$ .

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{x (1 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Bước 3.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{2}{1 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Bước 3.4

Kết hợp $\frac{2}{1 + e^{2 y}}$ và $e^{2 y}$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (- (1 + e^{2 y})) d x$

Bước 3.5

Viết lại bằng tính chất giao hoán của phép nhân.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.6

Triệt tiêu thừa số chung $1 + e^{2 y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{x (1 + e^{2 y})}$ vào tử số.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x (1 + e^{2 y})} (1 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.6.2

Đưa $1 + e^{2 y}$ ra ngoài $x (1 + e^{2 y})$ .

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.6.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{(1 + e^{2 y}) x} (1 + e^{2 y}) d x$

Bước 3.6.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Bước 3.7

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = - \frac{1}{x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{2 e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int \frac{e^{2 y}}{1 + e^{2 y}} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.2

Giả sử $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Sau đó $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ , nên $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1

Hãy đặt $u_{2} = 1 + e^{2 y}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.1

Tính đạo hàm $1 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + e^{2 y}]$

Bước 4.2.2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + e^{2 y}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Bước 4.2.2.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Bước 4.2.2.1.3

Tính $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = e^{y}$ và $g (y) = 2 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.2.1.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.2.2.1.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.2.2.1.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Bước 4.2.2.1.3.2

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $2 y$ đối với $y$ là $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Bước 4.2.2.1.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Bước 4.2.2.1.3.4

Nhân $2$ với $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Bước 4.2.2.1.3.5

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Bước 4.2.2.1.4

Cộng $0$ và $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Bước 4.2.2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Nhân $\frac{1}{u_{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u_{2}$ .

$2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.5.3

Nhân $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ với $1$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.6

Tích phân của $\frac{1}{u_{2}}$ đối với $u_{2}$ là $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.2.7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $1 + e^{2 y}$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Bước 4.3.2

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| 1 + e^{2 y} |) = - \ln (| x |) + C$