Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{x y}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhóm lại các thừa số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y}$

Bước 1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{y}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{1}}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

Bước 1.3.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

Bước 1.3.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

Bước 1.3.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

Bước 1.3.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x^{2}}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y})$

Bước 1.3.2

Kết hợp.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{x y}$

Bước 1.3.3

Kết hợp.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (x^{2} y^{2})}{y (x y)}$

Bước 1.3.4

Nhân $y$ với $y$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.4.1

Di chuyển $y$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (x^{2} y^{2})}{y \cdot y x}$

Bước 1.3.4.2

Nhân $y$ với $y$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (x^{2} y^{2})}{y^{2} x}$

Bước 1.3.5

Nhân $x^{2} y^{2}$ với $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{y^{2} x}$

Bước 1.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{2}$ và $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (x y^{2})}{y^{2} x}$

Bước 1.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.6.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $y^{2} x$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (x y^{2})}{x y^{2}}$

Bước 1.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (x y^{2})}{x y^{2}}$

Bước 1.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{y^{2}}$

Bước 1.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.7.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x y^{2}}{y^{2}}$

Bước 1.3.7.2

Chia $x$ cho $1$ .

$\frac{y}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x$

Bước 1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{y}{y^{2}} d y = x d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y}{y^{2}} d y = \int x d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $y$ và $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.1

Nâng $y$ lên lũy thừa $1$ .

$\int \frac{y^{1}}{y^{2}} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.2

Đưa $y$ ra ngoài $y^{1}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y^{2}} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.3

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $y^{2}$ .

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.3.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{y \cdot 1}{y \cdot y} d y = \int x d x$

Bước 2.2.1.3.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x d x$

Bước 2.2.2

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x d x$

Bước 2.3

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Bước 3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để giải tìm $y$ , hãy viết lại phương trình bằng các tính chất của logarit.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 3.2

Viết lại $\ln (| y |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dưới dạng mũ bằng cách dùng định nghĩa của logarit. Nếu $x$ và $b$ là các số thực dương và $b \neq 1$ , thì $\log_{b} (x) = y$ sẽ tương đương với $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C} = | y |$

Bước 3.3

Giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Bước 3.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$| y | = e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Bước 3.3.3

Loại bỏ số hạng chứa giá trị tuyệt đối. Điều này tạo ra một $\pm$ ở vế phải của phương trình vì $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$

Bước 4

Nhóm các số hạng hằng số với nhau.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Viết lại $e^{\frac{x^{2}}{2} + C}$ ở dạng $e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{C}$

Bước 4.2

Sắp xếp lại $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ và $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Bước 4.3

Kết hợp các hằng số với dấu cộng hoặc trừ.

$y = C e^{\frac{x^{2}}{2}}$