Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$

Bước 1

Tách $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tách phân số $\frac{x \sec (\frac{y}{x}) + y}{x}$ thành hai phân số.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sec (\frac{y}{x})}{x} + \frac{y}{x}$

Bước 1.2.2

Chia $\sec (\frac{y}{x})$ cho $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (\frac{y}{x}) + \frac{y}{x}$

Bước 2

Để $V = \frac{y}{x}$ . Thay $V$ cho $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sec (V) + V$

Bước 3

Giải $V = \frac{y}{x}$ để tìm $y$ .

$y = V x$

Bước 4

Sử dụng quy tắc tích số để tìm đạo hàm của $y = V x$ tương ứng với $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Bước 5

Thay $x \frac{d V}{d x} + V$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sec (V) + V$

Bước 6

Giải phương trình vi phân vừa thay.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Giải tìm $\frac{d V}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d V}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.1

Trừ $V$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + V - V$

Bước 6.1.1.1.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $\sec (V) + V - V$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.1.2.1

Trừ $V$ khỏi $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V) + 0$

Bước 6.1.1.1.2.2

Cộng $\sec (V)$ và $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$

Bước 6.1.1.2

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ cho $x$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $x \frac{d V}{d x} = \sec (V)$ cho $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Bước 6.1.1.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Bước 6.1.1.2.2.1.2

Chia $\frac{d V}{d x}$ cho $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sec (V)}{x}$

Bước 6.1.2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{\sec (V)}$ .

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Bước 6.1.3

Triệt tiêu thừa số chung $\sec (V)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sec (V)} \cdot \frac{\sec (V)}{x}$

Bước 6.1.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{\sec (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Bước 6.1.4

Viết lại phương trình.

$\frac{1}{\sec (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{1}{\sec (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.2.1.1

Viết lại $\sec (V)$ theo sin và cosin.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.2

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (V)}$ .

$\int 1 \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.1.3

Nhân $\cos (V)$ với $1$ .

$\int \cos (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.2.2

Tích phân của $\cos (V)$ đối với $V$ là $\sin (V)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Bước 6.2.3

Tích phân của $\frac{1}{x}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$\sin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Bước 6.2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$\sin (V) = \ln (| x |) + C$

Bước 6.3

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $V$ từ trong hàm sin.

$V = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Bước 7

Thay $\frac{y}{x}$ bằng $V$ .

$\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$

Bước 8

Giải $\frac{y}{x} = \arcsin (\ln (| x |) + C)$ để tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Nhân cả hai vế với $x$ .

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y}{x} x = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.1.1.2

Viết lại biểu thức.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C) x$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Sắp xếp lại các thừa số trong $\arcsin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \arcsin (\ln (| x |) + C)$