Giải tích Ví dụ

$x^{2} (y + 1) d y - (x + 1) (y d) x = 0$

Bước 1

Cộng $(x + 1) y d x$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} (y + 1) d y = (x + 1) y d x$

Bước 2

Nhân cả hai vế với $\frac{1}{x^{2} y}$ .

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y)} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Bước 3.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{x^{2} y} (x^{2} (y + 1)) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Bước 3.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{y} (y + 1) d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{y}$ với $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y} ((x + 1) y) d x$

Bước 3.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Đưa $y$ ra ngoài $x^{2} y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} ((x + 1) y) d x$

Bước 3.3.2

Đưa $y$ ra ngoài $(x + 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Bước 3.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{y x^{2}} (y (x + 1)) d x$

Bước 3.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Bước 3.4

Nhân $\frac{1}{x^{2}}$ với $x + 1$ .

$\frac{y + 1}{y} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Chia phân số thành nhiều phân số.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.4

Áp dụng quy tắc hằng số.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.5

Tích phân của $\frac{1}{y}$ đối với $y$ là $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.2.6

Rút gọn.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Bước 4.3

Lấy tích phân vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 4.3.1.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 4.3.1.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Bước 4.3.2

Nhân $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1

Nhân $x$ với $x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.3.1.1.1

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3.1.1.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3.1.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Bước 4.3.3.2

Nhân $x^{- 2}$ với $1$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Bước 4.3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Bước 4.3.5

Tích phân của $x^{- 1}$ đối với $x$ là $\ln (| x |)$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Bước 4.3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Bước 4.3.7

Rút gọn.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Bước 4.3.8

Sắp xếp lại các số hạng.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Bước 4.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $C$ .

$y + \ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$