Giải tích Ví dụ

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Bước 1

Tách các biến.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Nhân cả hai vế với $\tan^{2} (y)$ .

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Bước 1.2

Triệt tiêu thừa số chung $\tan^{2} (y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \tan^{2} (y) \frac{\sec^{2} (x)}{\tan^{2} (y)}$

Bước 1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\tan^{2} (y) \frac{d y}{d x} = \sec^{2} (x)$

Bước 1.3

Viết lại phương trình.

$\tan^{2} (y) d y = \sec^{2} (x) d x$

Bước 2

Lấy tích phân cả hai vế.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Lập tích phân ở mỗi vế.

$\int \tan^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2

Lấy tích phân vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Sử dụng đẳng thức Pytago, viết lại $\tan^{2} (y)$ ở dạng $- 1 + \sec^{2} (y)$ .

$\int - 1 + \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int - 1 d y + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$- y + C_{1} + \int \sec^{2} (y) d y = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.4

Vì đạo hàm của $\tan (y)$ là $\sec^{2} (y)$ , tích phân của $\sec^{2} (y)$ là $\tan (y)$ .

$- y + C_{1} + \tan (y) + C_{2} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.2.5

Rút gọn.

$- y + \tan (y) + C_{3} = \int \sec^{2} (x) d x$

Bước 2.3

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$- y + \tan (y) + C_{3} = \tan (x) + C_{4}$

Bước 2.4

Nhóm hằng số tích phân ở vế phải thành $K$ .

$- y + \tan (y) = \tan (x) + K$