Giải tích Ví dụ

$y (1 + \cos (x y)) d x + x (1 + \cos (x y)) d y = 0$

Bước 1

Tìm $\frac{\partial M}{\partial y}$ trong đó $M (x, y) = y (1 + \cos (x y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tính đạo hàm $M$ đối với $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (1 + \cos (x y))]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ là $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ trong đó $f (y) = y$ và $g (y) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (x y)$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d y} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \cos (y)$ và $g (y) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) \frac{d}{d y} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \frac{d}{d y} [y])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) (x \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.5.3

Nhân $x$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d y} [y]$

Bước 1.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Bước 1.5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Nhân $1 + \cos (x y)$ với $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \sin (x y) x) + 1 + \cos (x y)$

Bước 1.5.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Bước 2

Tìm $\frac{\partial N}{\partial x}$ trong đó $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tính đạo hàm $N$ đối với $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (1 + \cos (x y))]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = 1 + \cos (x y)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [1 + \cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + \cos (x y)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x y)]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [\cos (x y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [\cos (x y)] + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \cos (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.2

Đạo hàm của $\cos (u)$ đối với $u$ là $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) (y \cdot 1)) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.3

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \frac{d}{d x} [x]$

Bước 2.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + (1 + \cos (x y)) \cdot 1$

Bước 2.5.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Nhân $1 + \cos (x y)$ với $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (- \sin (x y) y) + 1 + \cos (x y)$

Bước 2.5.5.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Bước 3

Kiểm tra để đảm bảo $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Thế $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ vào $\frac{\partial M}{\partial y}$ và $- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ vào $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$

Bước 3.2

Vì hai vế đã được chứng minh là tương đương, nên phương trình là một đẳng thức.

$- x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y) = - x y \sin (x y) + 1 + \cos (x y)$ là một đẳng thức.

Bước 4

Đặt $f (x, y)$ bằng tích phân của $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (1 + \cos (x y)) d y$

Bước 5

Lấy tích phân $N (x, y) = x (1 + \cos (x y))$ để tìm $f (x, y)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $x$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x \int 1 + \cos (x y) d y$

Bước 5.2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$f (x, y) = x (\int d y + \int \cos (x y) d y)$

Bước 5.3

Áp dụng quy tắc hằng số.

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (x y) d y)$

Bước 5.4

Giả sử $u = x y$ . Sau đó $d u = x d y$ , nên $\frac{1}{x} d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Hãy đặt $u = x y$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1.1

Tính đạo hàm $x y$ .

$\frac{d}{d y} [x y]$

Bước 5.4.1.2

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y]$

Bước 5.4.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x \cdot 1$

Bước 5.4.1.4

Nhân $x$ với $1$ .

$x$

Bước 5.4.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{x} d u)$

Bước 5.5

Kết hợp $\cos (u)$ và $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = x (y + C + \int \frac{\cos (u)}{x} d u)$

Bước 5.6

Vì $\frac{1}{x}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{x}$ ra khỏi tích phân.

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} \int \cos (u) d u)$

Bước 5.7

Tích phân của $\cos (u)$ đối với $u$ là $\sin (u)$ .

$f (x, y) = x (y + C + \frac{1}{x} (\sin (u) + C))$

Bước 5.8

Rút gọn.

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (u)}{x}) + C$

Bước 5.9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Bước 6

Vì tích phân của $g (x)$ sẽ chứa hằng số tích phân nên ta có thể thay thế $C$ bằng $g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$

Bước 7

Đặt $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8

Tìm $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính đạo hàm $f$ đối với $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3

Tính $\frac{d}{d x} [x (y + \frac{\sin (x y)}{x})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = y + \frac{\sin (x y)}{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [y + \frac{\sin (x y)}{x}] + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.3

Vì $y$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $y$ đối với $x$ là $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x y)}{x}]) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = \sin (x y)$ và $g (x) = x$ .

$x (0 + \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x y)] - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = x y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.5.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x y$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.6

Vì $y$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $x$ là $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \frac{d}{d x} [x])) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.9

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) (y \cdot 1)) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.10

Nhân $y$ với $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) \cdot 1}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.11

Nhân $- 1$ với $1$ .

$x (0 + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}) + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.12

Cộng $0$ và $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$x \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.13

Kết hợp $x$ và $\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x^{2}} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.14

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.14.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.14.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (x (\cos (x y) y) - \sin (x y))}{x \cdot x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.14.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + (y + \frac{\sin (x y)}{x}) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.15

Nhân $y + \frac{\sin (x y)}{x}$ với $1$ .

$\frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y)}{x} + y + \frac{\sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$y + \frac{x (\cos (x y) y) - \sin (x y) + \sin (x y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.17

Cộng $- \sin (x y)$ và $\sin (x y)$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y) + 0}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.18

Cộng $x (\cos (x y) y)$ và $0$ .

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.19

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.19.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y + \frac{x (\cos (x y) y)}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.3.19.2

Chia $\cos (x y) y$ cho $1$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d}{d x} [g (x)] = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.4

Tính đạo hàm bằng quy tắc hàm cho biết đạo hàm của $g (x)$ là $\frac{d g}{d x}$ .

$y + \cos (x y) y + \frac{d g}{d x} = y (1 + \cos (x y))$

Bước 8.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Bước 9

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Giải tìm $\frac{d g}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1

Rút gọn $y (1 + \cos (x y))$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.1.1.1

Viết lại.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = 0 + 0 + y (1 + \cos (x y))$

Bước 9.1.1.1.2

Rút gọn bằng cách cộng các số 0.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y (1 + \cos (x y))$

Bước 9.1.1.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y \cdot 1 + y \cos (x y)$

Bước 9.1.1.1.4

Nhân $y$ với $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x y) + y = y + y \cos (x y)$

Bước 9.1.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $\frac{d g}{d x}$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.1

Trừ $y \cos (x y)$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} + y = y + y \cos (x y) - y \cos (x y)$

Bước 9.1.2.2

Trừ $y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$\frac{d g}{d x} = y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$

Bước 9.1.2.3

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $y + y \cos (x y) - y \cos (x y) - y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1.2.3.1

Trừ $y \cos (x y)$ khỏi $y \cos (x y)$ .

$\frac{d g}{d x} = y + 0 - y$

Bước 9.1.2.3.2

Cộng $y$ và $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - y$

Bước 9.1.2.3.3

Trừ $y$ khỏi $y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Bước 10

Tìm nguyên hàm của $0$ để tìm $g (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Lấy tích phân cả hai vế của $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Bước 10.2

Tính $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Bước 10.3

Tích phân của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Bước 10.4

Cộng $0$ và $C$ .

$g (x) = C$

Bước 11

Thay cho $g (x)$ trong $f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (y + \frac{\sin (x y)}{x}) + C$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Bước 12.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$f (x, y) = x y + x \frac{\sin (x y)}{x} + C$

Bước 12.2.2

Viết lại biểu thức.

$f (x, y) = x y + \sin (x y) + C$